GEOMETRIJSKI DOKAZ PARALELOGRAM I PRAVOUGAONIK 1DAT JE PARALELOGRAM ABCD

A) ABECEDA SKETCHPADA I KONSTRUKCIJE ELEMENTARNIH GEOMETRIJSKIH LIKOVA (1
GEOMETRIJSKI DOKAZ PARALELOGRAM I PRAVOUGAONIK 1DAT JE PARALELOGRAM ABCD
LIDIJA ŠTANDEKER PREVERI SVOJE ZNANJE IZ OSNOVNIH GEOMETRIJSKIH ELEMENTOV

Geometrijski dokaz: Paralelogram i pravougaonik

1.Dat je paralelogram ABCD. Tačka M je sreište stranice BC, a tačka N središte stranice AD. Dokazati da duži AM i CN dele dijagonalu BD na tri jednaka dela.

2.U trouglu ABC je AC=BC i AD je visina. Neka je tačka P proizvoljna tačka prave AB, a M i N podnožja normala iz tačke P na krake AC i BC. Dokazati:

a) ako je P tačka duži AB, onda je MP + NP = AD,

b) ako P nije tačka duži AB, onda je MP – NP = AD ili NP – MP = AD.

3.U paralelogramu ABCD stranica AB je dva puta duža od stranice BC. Neka je tačka M središte stranice AB. Dokazati da je prava CM normalna na pravu DM.

4.Dat je romb sa oštrim uglom od 60⁰. Prava MN odseca na stranicama AB i BC odsečke MB i NB, tako da je MB +NB = AB. Dokazati da je trougao MDN jednakostraničan.

5.Dijagonale paralelograma ABCD seku se u tački O. Dokazati da centri upisanih krugova trouglova ABO, BCO, CDO, DAO predstavljaju temena romba.

6.Dijagonale četvorougla ABCD seku se u tački O. Dokazati da su centri O₁, O₂, O₃, O₄ krugova opisanih oko trouglova AOB, BOC, COD, DOA temena paralelograma.

7.U trouglu ABC tačke M, N i P su središta stranica redom BC, CA, AB. Neka je D proizvoljna tačka stranice BC, tačke E i F središta duži BD i CD i Q presek duži AD i NP. Dokazati da je četvorougao EFNP paralelogram, čije se dijagonale seku na duži MQ.

8.U paralelogramu ABCD na stranici AB je data tačka K, takva da je .Ako je tačka S središte duži KD, dokazati da je duž CS normalna na duž DK.

9.U svakom četvorouglu obe srednje linije i duž koja spaja središta dijagonala imaju jednu zajedničku tačku, koja predstavlja središte za svaku od ove tri duži. Dokazati.

10.Dat je paralelogram ABCD, kojem je ugao kod temena B tup. Stranice AB i BC su produžene preko temena B i na produžecima su odredjene tačke E i F, tako da su duži BE i BF osnovice jednakokrakih trouglova BCE i ABF. Dokazati da je trougao DEF jednakokrak.

11.Dat je pravougaonik ABCD i tačka A₁ simetrična tački A u odnosu na dijagonalu BD. Prava BA₁ seče stranicu CD u tački M. Dokazati da je trougao BDM jednakokrak.

12.Kroz presečnu tačku dijagonala kvadrata ABCD konstruisane su dve uzajamno normalne prave k i l koje seku stranice AB, BC, CD, DA kvadrata u tačkama K, L, M, N redom. Dokazati da je KM=LN.

13.Ortocentar oštrouglog trougla ABC je tačka H. Tačke M, N, P, Q su redom središta duži BH, CH, AC, AB. Dokazati da je četvorougao MNPQ pravougaonik.

14.Dat je pravougaonik ABCD i AB>BC. Nad stranicama AB i BC kao osnovicama su konstruisani jednakostranični trouglovi ABL i BCM, tako da je trougao ABL van pravougaonika, a tačka M je u pravougaoniku. Dokazati da je duž LM jednaka dijagonali pravougaonika.

15.U pravougaoniku ABCD tačka N je podnožje normale iz B na AC, tačka S je središte duži AN i tačka M je središte duži CD. Dokazati da je .

16.U pravougaoniku ABCD tačka M je na stranici CD, takva da je DM=2CM. Ako se prave AC i BM seku pod pravim uglom, izračunati ugao BOM, gde je tačka O presek dijagonala.

17.Simetrale unutrašnjih uglova paralelograma ABCD seku se u tačkama P, Q, R, S. Dokazati da je:

a) čevorougao PQRS pravougaonik,

b) dijagonala četvorougla PQRS jednaka razlici susednih stranica paralelograma ABCD.

18.Nad stranicama paralelograma ABCD, izvan paralelograma, konstruisani su kvadrati. Dokazati da su centri kvadrata temena novog kvadrata.

Tags: paralelogram i, je paralelogram, paralelogram, dokaz, geometrijski, pravougaonik