MATEMÁTICAS I Y II INTRODUCCIÓN LAS MATEMÁTICAS SON UN

Academia de Ciencias Matemáticas Físicoquímicas y Naturales de Granada
Ceip “conde de Campillos” Cehegín Programación Docente de Matemáticas
Programación Didáctica – Matemáticas eso Cuarto Curso Aragón

Unidad 15 Azar y Probabilidad Matemáticas ev Nombre y

MATEMÁTICAS I Y II

Matemáticas I Y II

Introducción

Las Matemáticas son un campo del saber que aparece al tratar de resolver problemas prácticos o científicos y se desarrolla mediante el análisis de estas situaciones para delimitar las cuestiones a las que se debe responder, su modelización con un lenguaje propio y un cierto tipo de manipulación simbólica de la que surgen las soluciones. La contextualización de los resultados obtenidos en la realidad que los produjo permite explicar los fenómenos estudiados o predecir su comportamiento futuro. Como disciplina científica, las Matemáticas se caracterizan porque estudian una realidad abstracta, porque sus enunciados se enuncian como proposiciones analíticas y se formulan con un alto grado de formalismo y porque usa como método para dar validez a sus resultados la demostración lógica.

La formación matemática, a lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria, tiene como finalidad primordial proporcionar a los estudiantes los conocimientos matemáticos necesarios para desenvolverse como ciudadanos en nuestra sociedad. En consecuencia, el currículo de esta etapa está más cerca de las aplicaciones prácticas —y, por tanto, da mayor importancia al desarrollo de los aspectos procedimentales—, que de la profundización en el conocimiento interno de la disciplina, por lo que los contenidos conceptuales se presentan de una forma más intuitiva que formal. Este es el punto de partida desde el que el currículo de las Matemáticas, para la modalidad de Bachillerato de Ciencias y Tecnología, pretende conseguir que los alumnos desarrollen las destrezas matemáticas, la capacidad de razonamiento y el conocimiento de los conceptos y formalismo de las matemáticas que les permitan aplicarlas en la interpretación de la realidad y enfrentarse a los problemas propios de los estudios superiores a los que se encaminan.

Estos aspectos quedan recogidos en las tres finalidades principales que persiguen las asignaturas de Matemáticas I y II:

• Aplicar los conocimientos matemáticos adquiridos: las matemáticas proporcionan un lenguaje y unas herramientas útiles para la resolución de problemas no sólo de la propia disciplina sino también de otras disciplinas científicas. Además, son el armazón sobre el que se construye la ciencia moderna, y constituyen un bagaje de conocimientos importante para el futuro desarrollo profesional de los estudiantes. Desde estas consideraciones, uno de los objetivos de las asignaturas de Matemáticas I y II es el de proporcionar a los alumnos técnicas, procedimientos, herramientas y métodos matemáticos que constituyen la base del conocimiento científico; es más, los alumnos deben conocer y manejar estas herramientas básicas adaptadas a diferentes contextos y a necesidades cambiantes, para lo que necesitan conocer su fundamento teórico lo que les permitirá discernir la que resulta más adecuada a cada situación.

• Formar a los estudiantes: el estudio de las matemáticas contribuye a desarrollar en los estudiantes las capacidades de análisis y de síntesis, de abstracción y de concreción, de generalización y de particularización, de formulación de conjeturas y de su argumentación, de rigor científico y de formalización. De este modo, las matemáticas ayudan a la mejora de las estructuras mentales de los alumnos y a la adquisición de aptitudes que trascienden al ámbito de las propias matemáticas, puesto que permiten desarrollar las capacidades de razonamiento y de sentido crítico necesarias para resolver problemas cuya dificultad está en encuadrarlos y en establecer una estrategia de resolución adecuada.

• Profundizar en el conocimiento de los métodos y herramientas de la ciencia matemática: en las etapas previas al Bachillerato casi siempre se suelen justificar los algoritmos y los resultados matemáticos, que se emplean en la resolución de problemas, en razonamientos inductivos. Por el nivel de desarrollo cognitivo alcanzado por los alumnos cuando inician el Bachillerato, así como por la preparación que necesitan para sus futuros estudios, resulta adecuado para esta etapa educativa que los estudiantes se acerquen más profundamente al conocimiento matemático. Es el momento oportuno para que los alumnos inicien su acercamiento a los métodos y herramientas propios de esta ciencia como son las definiciones, la formulación de hipótesis y la demostración de tales hipótesis y también para que, de forma gradual y equilibrada, los estudiantes avancen en el manejo del lenguaje formal y en la comprensión de los métodos deductivos propios de la matemática.

Finalmente, hay que tener en cuenta que los avances tecnológicos, característicos de nuestro tiempo, no pueden ni deben quedar al margen de la educación matemática. Las nuevas tecnologías de la información y de la comunicación permitirán al profesor hacer uso de unas herramientas que ayuden notablemente al alumno a la mejor comprensión de los contenidos presentados, así como a plantear y resolver problemas más próximos a la realidad de la vida cotidiana y relacionados con fenómenos científicos y técnicos. En consecuencia, el proceso de enseñanza de las matemáticas debe contemplar el uso de calculadoras, programas estadísticos, etc., con la intención de facilitar la adquisición de los conocimientos por parte de los estudiantes.

Objetivos

1. Conocer y comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de ciencias o técnicas y adquirir una formación científica general.

2. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación de las ciencias, la tecnología y en las actividades cotidianas.

3. Analizar y valorar la información proviniente de diversas fuentes, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales.

4. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos nuevos.

5. Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente mediante la adquisición y el manejo de vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos.

6. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática, como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas.

7. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

8. Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos, seleccionando la información que pueda ser más útil y valorando las posibilidades que ofrecen para realizar investigaciones, hacer cálculos o resolver problemas.

9. Comprender y usar el estilo de presentación formal del conocimiento matemático: enunciar definiciones precisas, propiedades, técnicas o fórmulas, y emplear el método lógico deductivo en su justificación.

10. Utilizar las herramientas matemáticas apropiadas para investigar situaciones problemáticas, novedosas para el alumno, que favorezcan la adquisición de hábitos de trabajo y el desarrollo de la curiosidad, la creatividad, el interés y la confianza en sí mismo.

Matemáticas I

Contenidos

I. Aritmética y Álgebra

Atender a las funciones para las que fueron creados los distintos tipos de números ayudará al alumno tanto a comprender el significado de sus relaciones y operaciones, como sus técnicas de cálculo. La presencia de calculadoras obliga a prestar especial atención al control de los errores que se producen al sustituir los números reales por aproximaciones decimales.

Las sucesiones de números reales deben servir para profundizar en la comprensión de la densidad de este conjunto numérico. El límite de estas sucesiones hay que presentarlo mediante ideas intuitivas, no parece aconsejable presentar una definición formal de este concepto.

La manipulación de expresiones algebraicas es un recurso necesario para la resolución de situaciones problemáticas que se modelizan mediante ecuaciones, inecuaciones y sistemas. El uso de técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones cobra mayor interés al aplicarlas a problemas de programación lineal.

El estudio del binomio de Newton cumple, entre otras funciones, la de familiarizar a los alumnos con la manipulación de números combinatorios, de modo que estén mejor preparados para asignar probabilidades en la distribución binomial.

1. Números reales

Diferentes tipos de números: representación en la recta real. Distancia entre dos números reales: valor absoluto. Subconjuntos de números reales: intervalos. Operaciones con números reales: radicales. Aproximaciones de números reales. Error. Sucesiones de números reales: monotonía y acotación. El número e.

2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Resolución de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grados: interpretación gráfica. Resolución de ecuaciones e inecuaciones polinómicas. Aplicación del método de Gauss en la resolución e interpretación de sistemas sencillos de ecuaciones lineales. Planteamiento y resolución de problemas extraídos de contextos cotidianos o científicos mediante ecuaciones, inecuaciones o sistemas. Problemas de programación lineal con dos variables: planteamiento y resolución gráfica.

3. El binomio de Newton

Generalización de las potencias de un binomio. Factoriales y números combinatorios. El triángulo aritmético: algunas propiedades.

4. Números complejos

El plano complejo. Operaciones elementales. La fórmula de Moivre.

II. Geometría

La obtención de fórmulas trigonométricas y los teoremas del seno y del coseno proporcionan un marco adecuado para acercar a los alumnos al razonamiento deductivo. Estos resultados deben trasladarse a la resolución de problemas en los que haya que realizar medidas indirectas.

La geometría analítica simplifica la resolución de los problemas geométricos al traducirlos al álgebra. Hay que acostumbrar al alumno a comenzar con razonamientos de “regla y compás˝ que después se traducirán al lenguaje algebraico y una vez se ha alcanzado la solución interpretarla en el contexto geométrico.

1. Trigonometría

El radián: expresión y transformación de medidas de ángulos en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera: representación mediante la circunferencia unidad y reducción al primer cuadrante. Obtención de algunas fórmulas trigonométricas: su uso para el cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una razón dada. Teoremas del seno y del coseno. Planteamiento y resolución de problemas de medidas indirectas con triángulos rectángulos y no rectángulos extraídos de diferentes contextos. Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.

2. Geometría analítica del plano

Vectores en el plano. Producto escalar de vectores: definición, propiedades e interpretación geométrica. Ecuaciones de la recta en el plano: vector de dirección y pendiente. Intersección de dos rectas. Caracterización del paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de la medida del ángulo determinado por dos rectas. Cálculo de distancias entre dos puntos, un punto y una recta y dos rectas.

3. Lugares geométricos del plano

Concepto de lugar geométrico. Mediatriz de un segmento y bisectriz del ángulo determinado por dos rectas. La circunferencia: ecuación y propiedades. Elipse, hipérbola y parábola: definición como lugar geométrico; ejes, focos, directriz y excentricidad. Obtención de la ecuación reducida de una cónica. Cálculo de los elementos más importantes de una cónica.

III. Funciones y gráficas

Es importante que los alumnos, en el análisis de situaciones concretas, entiendan y relacionen las distintas formas de representar la dependencia funcional. Y también es importante que las características y propiedades de las funciones se presenten contextualizadas, para que los estudiantes, cuando lo necesiten, puedan interpretar el lenguaje simbólico desde situaciones que le resultan más comprensibles.

La presencia de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas en el mundo de la ciencia aconseja que los alumnos estudien sus peculiaridades. Sin embargo, el cálculo con ellas se ha facilitado gracias al uso de las calculadoras, lo que hace que no sea preciso dedicarles mucho esfuerzo.

Los conceptos de límite funcional y de función derivada son ciertamente complejos, por tanto hay que conceder la prioridad a la formación de estos conceptos mediante aproximaciones que permitan interpretarlos desde contextos de la vida real. Consecuentemente, en este primer acercamiento, el cálculo de límites y derivadas hay que limitarlo a casos elementales.

1. Funciones reales de variable real

Reconocimiento, en fenómenos de diverso tipo, de la dependencia funcional entre dos magnitudes, elaboración de tablas de datos, representación en unos ejes convenientemente escogidos y obtención de su expresión analítica. Funciones reales de variable real: dominio, recorrido, monotonía, acotación y extremos; simetría y periodicidad. Operaciones con funciones. La función inversa. Definición, propiedades y gráficas de las funciones elementales: funciones lineal y cuadrática; funciones racionales sencillas; funciones potenciales con exponente entero; las funciones exponenciales y logarítmicas; funciones circulares. Resolución de ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas sencillas. Idea intuitiva del límite de una función. Los límites laterales. Discontinuidad: tipos. Límites infinitos y límites en el infinito: asíntotas. Representación gráfica de funciones elementales a partir del análisis de sus características globales.

2. Introducción a la derivada

Tasas de variación media e instantánea de una función. Derivada de una función en un punto. Interpretaciones geométrica y física de la derivada: aplicación de la derivada a la determinación de la tangente a una curva o de sus extremos; cálculo de la velocidad y la aceleración. La función derivada. Iniciación al cálculo de derivadas.

IV. Estadística y probabilidad

En el tratamiento educativo de la estadística el énfasis debe situarse en la comprensión de los conceptos, en la interpretación de las características de una población conocidos sus parámetros. Del mismo modo, más que al cálculo hay que dar prioridad al significado y usos de la correlación y la regresión lineal en el estudio de variables bidimensionales. Los recursos tecnológicos existentes han de ponerse a disposición de los alumnos para facilitarles los cálculos y gráficos estadísticos.

Las nociones de función de probabilidad y función de densidad pueden introducirse partiendo de una gran variedad de fenómenos para que así los alumnos puedan darles significado.

1. Estadística descriptiva

Parámetros estadísticos de una población: media y desviación típica. Distribuciones estadísticas bidimensionales: diagrama de dispersión. Relaciones entre dos variables estadísticas: el coeficiente de correlación lineal y su interpretación. La recta de regresión. Decisión sobre la fiabilidad de las estimaciones hechas a partir de la recta de regresión.

2. Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias. Variables aleatorias discretas: la función de probabilidad; cálculo de parámetros. La distribución bonomial. Identificación de variables aleatorias binomiales y asignación de probabilidades usando la función de probabilidad correspondiente. Distribuciones de probabilidad de una variable continua: la función de densidad. La distribución normal. Asignación de probabilidades en situaciones que correspondan a un modelo normal una vez tipificados sus valores. Uso de la tabla de la distribución normal típica. Aproximación de una distribución binomial con una normal. Corrección de continuidad.

Criterios de evaluación

1. Utilizar los números reales seleccionando la notación y aproximación adecuada para cada caso, para presentar la información, resolver problemas e interpretar y modelizar situaciones de las ciencias y de la vida cotidiana.

Los alumnos deberán saber elegir la notación más adecuada de los números reales dependiendo de la necesidad de resultados exactos o aproximados. Además, los estudiantes deberán ser capaces de operar con fluidez con expresiones sencillas que contengan números enteros, fraccionarios y radicales cuadráticos, y, si necesitan hacer aproximaciones, controlar el tamaño del error cometido y ajustarlas a las necesidades de la situación real a la que se refieran.

También se pretende que sepan comparar números muy grandes o muy pequeños y hacer operaciones con ellos, usando para representarlos la notación científica.

2. Resolver ecuaciones, inecuaciones, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones eligiendo el método más conveniente para cada tipo. Interpretar las soluciones.

Se pretende que los alumnos demuestren su destreza para resolver ecuaciones polinómicas, racionales o irracionales con radicales cuadráticos y sistemas (lineales o cuadráticos sencillos) mediante su transformación en otros equivalentes a los propuestos. Deberán saber emplear los números complejos para expresar las soluciones de ecuaciones de segundo grado sin soluciones reales.

Además, los alumnos deberán ser capaces de resolver mediante transformaciones algebraicas y gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones de dos incógnitas como máximo.

También se trata de que sepan resolver problemas de geometría analítica en los que deban hallar la intersección entre pares de rectas, una recta y una cónica o dos cónicas mediante la resolución del sistema de ecuaciones que representa a cada uno de los objetos geométricos.

3. Expresar en lenguaje algebraico situaciones de la vida corriente o del ámbito de las ciencias de la naturaleza, e interpretar las soluciones obtenidas a partir de la resolución de las ecuaciones, inecuaciones o sistemas a que den origen.

Este criterio pretende que los alumnos muestren su capacidad para usar las ecuaciones, inecuaciones y sistemas para plantear y resolver problemas. Además deberán juzgar el significado y la razonabilidad de las soluciones obtenidas.

Entre los problemas que deberán ser capaces de plantear y resolver se encuentran los de programación lineal de dos variables.

4. Usar las relaciones trigonométricas para determinar longitudes y ángulos en problemas de medidas indirectas.

Los alumnos deberán ser capaces de analizar situaciones cotidianas o de las ciencias en las que se necesite averiguar la medida de alguna longitud o algún ángulo mediante el dibujo de figuras esquemáticas (triángulos, rectángulos…). Una vez hecho esto deberán resolver el problema de trigonometría planteado y reinterpretar las soluciones a la luz del contexto real.

5. Usar la notación algebraica para representar relaciones matemáticas y simplificar las expresiones que se obtengan.

Se pretende que usen la notación simbólica para expresar relaciones de carácter general como propiedades, términos generales de sucesiones, fórmulas, etc. Además, deberán ser capaces de simplificar expresiones algebraicas sencillas usando las propiedades convenientes.

La verificación de identidades trigonométricas sencillas usando las fórmulas trigonométricas o la simplificación de expresiones exponenciales o con logaritmos es uno de los contextos en los que deberán demostrar la capacidad para la manipulación simbólica.

6. Utilizar el lenguaje vectorial para interpretar analíticamente diversas situaciones de la geometría plana, obtener las ecuaciones de rectas y cónicas y utilizarlas para resolver problemas afines y métricos.

Con este criterio se trata de que los alumnos muestren que son capaces de obtener las ecuaciones de rectas o lugares geométricos, a partir de distintas condiciones geométricas. También deberán ser capaces de usar las representaciones algebraicas de vectores, rectas o circunferencias para resolver problemas geométricos sencillos que impliquen intersecciones o la medida de distancias, ángulos o áreas.

7. Conocer las principales propiedades matemáticas, las expresiones analíticas y las representaciones gráficas de las principales funciones elementales y construir, a partir de ellas, las representaciones gráficas de funciones obtenidas mediante transformaciones sencillas.

Además de conocer las propiedades más características de las principales funciones elementales, como su dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos, simetrías, asíntotas, etc., los alumnos deberán ser capaces de realizar las representaciones y deducir estas mismas propiedades de funciones obtenidas por transformaciones sencillas (desplazamientos y deformaciones) de las funciones elementales. En las representaciones gráficas se valorará la acertada elección de los ejes y escalas de valores.

8. Identificar los distintos tipos de relaciones cuantitativas entre dos variables referidas a fenómenos científicos, económicos o sociales y asociarla con el tipo de función elemental que mejor se adapte a la descripción matemática del fenómeno estudiado.

Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de reconocer en descripciones cualitativas, tablas de valores, representaciones gráficas o expresiones analíticas, que correspondan a diversos tipos de fenómenos, el tipo de función elemental (lineal, cuadrática, racional, exponencial, logarítmica o circular) que mejor modeliza la situación. Además de ello, deberán sacar conclusiones razonables que puedan deducirse de las propiedades de la función que modelice el fenómeno descrito.

9. Estudiar el dominio, puntos de corte con los ejes, signo, continuidad, límites en el infinito, simetrías, periodicidad, asíntotas, etc., de funciones sencillas para hacer una representación gráfica de ellas.

Con este criterio se pretende que los alumnos demuestren su capacidad para reunir toda la información necesaria para dibujar la gráfica de una función, haciendo uso de todas las herramientas matemáticas de que disponen, incluyendo los límites funcionales. Fundamentalmente, se les pedirá la representación de funciones racionales en las que el numerador y denominador puedan descomponerse fácilmente en factores. Se valorará sobre todo la coherencia al integrar toda la información recogida en la gráfica final.

10. Interpretar el concepto de derivada y saber utilizarla en situaciones sencillas relacionadas con otros ámbitos del saber.

Se pretende que los alumnos sepan aplicar el significado de la derivada en problemas sobre la tasa de crecimiento o la variación de magnitudes. También deberán saber calcular la tangente a la curva que represente a una función sencilla en uno de sus puntos.

11. Representar mediante un diagrama de dispersión y valorar el grado de correlación existente entre las variables de una distribución estadística bidimensional sencilla y obtener las rectas de regresión para hacer predicciones estadísticas.

Se pretende evaluar si el alumno utiliza los recursos estadísticos para analizar el comportamiento conjunto de dos variables —extraídas de contextos científicos o cotidianos—, el grado de correlación entre ellas. También se valorará si son capaces de aproximar la nube de puntos mediante la construcción de la recta de regresión, y hacer predicciones cuantitativas a partir de dicha recta valorando la pertinencia de los previsiones obtenidas.

12. Estudiar y analizar situaciones cotidianas en las que se necesite una variable aleatoria de tipo binomial o normal y calcular las probabilidades de sucesos asociados al fenómeno aleatorio objeto del estudio.

Se pretende que los alumnos sepan reconocer en situaciones reales fenómenos que se ajusten a una distribución binomial o normal y que calculen las probabilidades de sucesos asociados mediante el uso de las tablas de dichas distribuciones.

13. Abordar las tareas propuestas con interés y curiosidad, exponer los procesos de forma clara y ordenada, verificando la validez de las soluciones.

Se valorará que los alumnos sean capaces de afrontar situaciones problemáticas con curiosidad e interés en su resolución, presentando los procesos realizados de forma ordenada y teniendo en cuenta tanto los procedimientos utilizados como los resultados obtenidos.

14. Realizar razonamientos matemáticos, tanto inductivos como deductivos, para justificar algunos resultados.

Se trata de que los alumnos muestren su capacidad para generalizar un resultado numérico o geométrico a partir del estudio de una serie de casos particulares y dar un razonamiento lógico para justificarlo en todos los casos.

Matemáticas II

Contenidos

I. Análisis

Con ayuda de calculadoras y ordenadores se pueden plantear problemas del mundo físico que permitan acercar a los alumnos a la definición formal de límite. En el cálculo de límites hay que evitar que los estudiantes apliquen las técnicas de forma mecánica, sin mantener el control de la finalidad de la tarea.

En el estudio de la propiedades de las funciones, el acento hay que ponerlo tanto en las manipulaciones simbólicas, como en su interpretación gráfica y en su significado dentro del contexto de los problemas científicos o de la vida real.

Aunque las calculadoras gráficas y los ordenadores facilitan la tarea de representar funciones, el tradicional trabajo con "lápiz y papel" ofrece una excelente oportunidad para que los alumnos conecten distintos conceptos sobre funciones; los medios tecnológicos pueden ser útiles cuando el énfasis resida en la interpretación de situaciones reales a partir de su representación gráfica.

1. Límites

Sucesiones. Límite de una sucesión: idea intuitiva. Cálculo de límites de sucesiones. Límites asociados al número e. Límite de una función en un punto: idea intuitiva. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Cálculo de límites: indeterminaciones. Noción de continuidad de una función en un punto: relación entre la continuidad y los límites. Interpretación gráfica. Estudio de la continuidad de funciones: determinación y clasificación de las discontinuidades. Propiedades de las funciones continuas.

2. Derivadas

Derivada de una función en un punto. Relación entre la derivabilidad y la continuidad. Interpretación gráfica de la derivabilidad. Estudio de la derivabilidad de funciones. Cálculo de derivadas. Crecimiento y decrecimiento: extremos. Aplicación a problemas de optimización. Algunas propiedades de las funciones derivables: el teorema del valor medio. Concavidad y convexidad: puntos de inflexión. Estudio de las propiedades locales y globales de una función sencilla para realizar su representación gráfica.

3. Integrales

El problema del área: aproximación intuitiva a la integral. Definición de integral definida de una función continua. La función área. Noción de primitiva. El teorema fundamental del cálculo integral. La regla de Barrow. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas, por cambio de variable, por partes o racionales sencillas. Integrales definidas. Cálculo de áreas de regiones planas.

II. Álgebra lineal

El objetivo de este bloque es completar el aprendizaje de las técnicas de resolución de ecuaciones algebraicas. Las matrices constituyen un excelente recurso para representar los aspectos esenciales de algunos problemas de forma económica. La aplicación de las leyes del cálculo matricial y los determinantes permite discutir previamente la existencia de la solución del problema así como formular métodos generales de resolución.

El estudio de las operaciones con matrices abre otra perspectiva en el estudio del Álgebra: en ella la demostración de nuevos resultados de los objetos que se están estudiando depende tan sólo de las propiedades básicas de las operaciones entre ellos —conmutatividad, existencia de inverso…—, y no su naturaleza intrínseca.

1. Matrices

Matrices de números reales. Tipos de matrices. Operaciones con matrices: trasposición, suma, producto por escalares, producto. La matriz inversa: obtención por el método de Gauss. Rango de una matriz: obtención por el método de Gauss.

2. Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de un sistema. Sistemas equivalentes. Representación matricial de un sistema. Discusión y resolución de un sistema lineal por el método de Gauss. Traducción al lenguaje algebraico de problemas reales que puedan resolverse con sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas homogéneos. El teorema de Rouché-Frobenius. Discusión y resolución de sistemas dependientes de un parámetro.

3. Determinantes

Definición inductiva de los determinantes. La regla de Sarrus. Propiedades elementales de los determinantes. Aplicación de las propiedades al cálculo de determinantes. Cálculo de la matriz inversa con determinantes. Utilización de los determinantes en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales: la regla de Cramer.

III. Geometría

Los vectores tienen una gran importancia por sus aplicaciones científicas y también por ser un potente instrumento que permite describir los diferentes elementos geométricos con sencillez. Con ellos es posible establecer los resultados geométricos con gran concisión y elegancia gracias a la interpretación del significado de los distintos productos.

En la geometría analítica del espacio son más difíciles las representaciones que en la del plano, pero hay que acostumbrar al alumno a comenzar con razonamientos espaciales, que pueden basarse en representaciones esquemáticas de la situación, para después traducirlas al lenguaje algebraico y una vez se ha alcanzado la solución interpretarlas en el contexto geométrico.

1. Vectores

Vectores en el espacio tridimensional. Dependencia e independencia lineal. Bases. Productos escalar: definición e interpretación. Ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. Productor vectorial: definición e interpretación geométrica. Producto mixto: definición e interpretación geométrica. Aplicación de los productos escalar, vectorial y mixto al cálculo de áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes.

2. Geometría analítica del espacio

Sistemas de referencia. Ecuaciones vectoriales de la recta y el plano.

Deducción de otras formas de la ecuación de la recta y el plano a partir de las ecuaciones vectoriales. Posiciones relativas de rectas y planos. Haces de planos. Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Distancia. Distancia entre puntos, rectas y planos. Ángulos entre rectas y planos. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

Criterios de evaluación

1. Comprender los conceptos básicos y utilizar la terminología adecuada del análisis. Aplicar las condiciones de continuidad y derivabilidad en funciones sencillas (definidas a trozos, elementales… ).

Se pretende comprobar que los alumnos han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y utilizan correctamente el concepto de continuidad, los límites laterales, el límite funcional y el concepto de derivada para analizar las características de continuidad y derivabilidad de funciones sencillas. Este conocimiento de los conceptos y propiedades de las funciones lo han de aplicar para analizar, interpretar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y sociales.

2. Usar las destrezas más habituales para el cálculo de límites, derivadas e integrales.

Se pretende averiguar si los alumnos han desarrollado la destreza en el uso de las técnicas más usuales del cálculo de límites. Así mismo se desea averiguar que conocen las principales reglas de derivación y que saben aplicarlas en situaciones en las que hay que combinar algunas de ellas como en la derivación de funciones compuestas. También deben conocer las integrales inmediatas y la aplicación de los métodos básicos de integración.

3. Extraer información, a partir del estudio de las propiedades locales y globales, que permita esbozar las gráficas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Con este criterio se pretende averiguar si los alumnos son capaces de recoger información local y global sobre funciones sencillas, expresadas de forma explícita, usando los diferentes conceptos y propiedades del análisis, analizarlas tanto cuantitativa como cualitativamente y producir como resultado sus representaciones gráficas en las que quede recogida de forma coherente toda la información obtenida en el estudio.

4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter geométrico, físico o tecnológico.

Se trata de saber si los estudiantes son capaces de identificar la función que debe ser optimizada, en un contexto geométrico o en un fenómeno científico o tecnológico, y aplicar el cálculo de derivadas para estudiarla y obtener los valores óptimos.

5. Calcular áreas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas fácilmente representables y aplicar este cálculo a situaciones de la naturaleza o la tecnología.

Con este criterio se desea averiguar si los alumnos son capaces de aplicar el cálculo de primitivas de funciones sencillas al cálculo de áreas, analizando la gráfica correspondiente a cada situación para tomar las decisiones que correspondan para una correcta delimitación del recinto objeto del estudio. También que sepan identificar, en contextos del mundo físico o tecnológico, situaciones problemáticas que sean susceptibles de resolverse usando el cálculo integral.

6. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como herramienta útil para representar e interpretar situaciones diversas y problemas relacionados con la organización de datos, sistemas de ecuaciones y la geometría analítica.

Este criterio pretende comprobar que los alumnos utilizan correctamente la notación matricial para representar datos, relaciones y sistemas de ecuaciones. Así mismo, que son capaces de usar las operaciones con matrices y determinantes para analizar las situaciones representadas y que valoran la sencillez que supone esta notación.

7. Utilizar diversos procedimientos del álgebra matricial o de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de clasificar un sistema de ecuaciones (con un máximo de tres incógnitas) de acuerdo con el tipo de sus soluciones y resolverlo cuando esto sea posible. También se pretende conocer si saben discutir sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro resolviéndolos en función de éste cuando sea posible.

Los estudiantes deben demostrar que conocen tanto el método de Gauss, como la regla de Cramer o el uso de la matriz inversa para resolver los sistemas y que saben elegir el más conveniente para cada problema.

8. Utilizar el lenguaje vectorial y las operaciones con vectores como herramienta útil para representar e interpretar situaciones diversas y problemas relacionados con la geometría, la física y demás ciencias.

Se trata de que los alumnos sepan transcribir situaciones de las ciencias de la naturaleza, la tecnología, la física y la geometría a un lenguaje vectorial, utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas dando una interpretación de las soluciones.

9. Utilizar las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio y las propiedades de las operaciones con vectores para resolver problemas afines o métricos.

En este criterio se trata de comprobar que los alumnos saben interpretar y obtener las distintas ecuaciones de la recta y el plano en el espacio y utilizarlas en la resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Además deben poder emplearlas, junto con los distintos productos entre vectores, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

10. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos e interpretar las soluciones de acuerdo con el enunciado.

Se trata de averiguar si los alumnos son capaces de expresar problemas de diferentes contextos en lenguaje algebraico y aplicar para su resolución las técnicas adecuadas.

11. Abordar las tareas propuestas con interés y curiosidad, exponer los procesos de forma clara y ordenada, verificando la validez de las soluciones.

12. Realizar razonamientos matemáticos tanto inductivos como deductivos para justificar algunos resultados.

Se pretende que el alumno exprese con rigor y precisión los conceptos matemáticos y los utilice como base de sus razonamientos. También que sea capaz de construir pequeñas cadenas de razonamientos lógicos que establezcan la validez de resultados generales del álgebra, geometría o análisis a partir de propiedades enunciadas o que el alumno formula tras un proceso inductivo.

Tags: matemáticas i, técnicas matemáticas, matemáticas, introducción