VECTOR EN EL ESPACIO UN VECTOR EN EL ESPACIO
TRANSLATION & VECTORS SKILLS DRAW THE IMAGE1 VECTORS A AND B HAVE THE SAME MAGNITUDE
15 SECTION 92 VECTORS PRACTICE HW FROM STEWART TEXTBOOK
15A NCAC 02T 1107 VECTOR ATTRACTION REDUCTION REQUIREMENTS (A)
1º PROBLEMA TIPO 1º EN EL ESPACIO VECTORIAL (R4+R)
6 IMPORTANT VECTORS IN PUBLIC HEALTH STUDY SESSION 6
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si
las coordenadas de A y B son: A(x1,
y1,
z1)
y B(x2,
y2,
z2)
Las coordenadas
o componentes del vector
son
las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+
(
+
)
= (
+
)
+
Conmutativa
+
=
+
Elemento neutro
+
=
Elemento opuesto
+
(−
)
=
Producto de un número real por un vector
El
producto
de un número real k
por
un vector
es
otro
vector:
De
igual
dirección
que el vector
.
Del
mismo
sentido
que el vector
si
k es positivo.
De
sentido
contrario
del vector
si
k es negativo.
De
módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k
· (k' ·
)
= (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k
· (
+
)
= k ·
+
k ·
Distributiva respecto a los escalares
(k
+ k') ·
=
k ·
+
k' ·
Elemento neutro
1
·
=
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos
vectores
libres
del plano
=
(u1,
u2)
y
=
(v1,
v2)
son linealmente
dependientes
si sus componentes son proporcionales.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA'
es la proyección del vector
sobre
v, que lo denotamos como:
.
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
El
producto vectorial de
es
ortogonal a los vectores
y
.
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Área de un triángulo
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa
x
=
−
x
2. Homogénea
λ
(
x
)
= (λ
)
x
=
x
(λ
)
3. Distributiva
x
(
+
)
=
x
+
x
·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.
x
=
5.
El
producto
vectorial
x
es
perpendicular
a
y
a
.
Producto mixto
El
producto
mixto
de los vectores
,
y
es
igual al producto
escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.
El
producto
mixto
se representa por [
,
,
].
Y resulta igual al determinante:.
Volumen del paralelepípedo
El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.
Propiedades del producto mixto
1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.
2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.
73 ORTHOGONALITY OF EIGENVECTORS CORRESPONDING TO DISTINCT EIGENVALUES
ABB MINIVECTOR MINIVECTOR CONNECTIONS FIG 1 FRONT PANEL
ACTIVITY DESCRIPTION IN THIS ACTIVITY BASIC MANIPULATION OF VECTORS
Tags: espacio un, el espacio, vector, espacio
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