TEMA 5 NÚMEROS ENTEROS 1 NÚMEROS ENTEROS LOS

el Poder de la Generalización Números Mórficos Vamos a

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Tema 5:

TEMA 5: NÚMEROS ENTEROS.

1. Números enteros.

• LOS NÚMEROS ENTEROS SON AQUELLOS QUE USAMOS PARA CONTAR OBJETOS EN LA VIDA COTIDIANA INDICANDO SI TENEMOS O NOS FALTA LA CANTIDAD QUE INDICAMOS: -3, 1, -2, 4,…

• LOS NÚMEROS ENTEROS PUEDEN SER POSITIVOS O NEGATIVOS:

• Positivos si tenemos la cantidad que indicamos. Ej: Tengo 10 € (+10)

• Negativos si nos falta la cantidad que indicamos. Ej: Debo 5 € al banco (-5)

• EL CERO TAMBIÉN ES UN NÚMERO ENTERO, PERO NO ES NEGATIVO NI POSITIVO.

1. Representación de los números enteros en la recta real.

• PARA REPRESENTAR LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA REAL, DIVIDIMOS LA RECTA EN DOS PARTES SEPARADAS POR EL CERO Y COLOCAMOS LOS POSITIVOS HACIA LA DERECHA Y LOS NEGATIVOS HACIA LA IZQUIERDA.

Ejemplo resuelto 1: Expresa con números enteros:

1. Debo 12 € a mi madre  -12€

2. Tengo 107 amigos en el Tuenti  +107 amigos

Ejercicio: Expresa con números enteros:

1. Debo 15 € a mi amigo Luis

2. Tengo 32 caramelos

3. Mi padre me debe 5 € de la paga de la semana pasada

4. He comprado 8 cuadernos para usarlos durante el curso

2. Valor absoluto.

• EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO ES EL MISMO NÚMERO PERO QUITÁNDOLE EL SIGNO. SE REPRESENTA CON EL NÚMERO ENTRE DOS LÍNEAS VERTICALES: │Nº│

Ejemplo: │-34│= 34; │+42│= 42

Ejercicio: Calcula los siguientes valores absolutos:

1. │-13│= b) │+56│=

3. │+24│= d) │-32│=

3. Opuesto de un número entero.

• SE LLAMA OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO AL MISMO NÚMERO PERO CAMBIADO DE SIGNO.

Ejemplo: Op(-34)= 34; Op(+42)= -42

Ejercicio: Calcula los opuestos de los siguientes números enteros:

a) Op(-13)= b) Op(+56)=

c) Op(+24)= d) Op(-32)=

2. Comparación de números enteros.

• PARA COMPARAR DOS NÚMEROS ENTEROS, DIBUJAMOS LOS DOS NÚMEROS EN LA RECTA REAL, Y EL QUE ESTÉ MÁS A LA DERECHA, ES EL MAYOR DE LOS DOS..

Ejemplo resuelto 1: Compara los números: -4 Y 2

Respuesta:

El 2 está más a la derecha, luego es mayor que el -4  +2 > -4

Ejercicios: Compara las siguientes parejas de números: :

a) 3 y -1

b) -6 y -2

c) 5 y -6

d) -3 y -5

3. Suma y resta de números enteros.

• PARA SUMAR NÚMEROS ENTEROS TENEMOS DOS CASOS:

• SI LOS DOS NÚMEROS TIENEN EL MISMO SIGNO: SUMAMOS LOS VALORES ABSOLUTOS DE LOS NÚMEROS Y PONEMOS DELANTE EL MISMO SIGNO QUE TENÍAN AL PRINCIPIO.

• SI TIENEN DISTINTO SIGNO: RESTAMOS LOS VALORES ABSOLUTOS DE LOS SIGNOS Y PONEMOS EL SIGNO DEL QUE TENÍA MAYOR VALOR ABSOLUTO.

Ejemplo resuelto: Calcula la siguiente suma de números enteros:

1. (-4) + (-7)

2. (+2) + (-5)

Respuesta:

1. (-4) + (-7)  Sumamos los valores absolutos (4 + 7 = 11) y le ponemos el mismo signo que tenían los números (-)  (-4) + (-7) = (-11)

2. (+2) + (-5)  Restamos los valores absolutos (5 – 2 = 3) y le ponemos el signo del que tenía mayor valor absoluto (el que tenía mayor valor absoluto era el -5, luego el signo es -)  (+2) + (-5) = (-3)

Ejercicio: Calcula la siguiente suma de números enteros:

1. (-5) + (-3) =

2. (-8) + (+7) =

3. (+2) + (-4) =

4. (-5) + (-4) =

• PARA RESTAR DOS NÚMEROS ENTEROS SE LE SUMA AL PRIMERO EL OPUESTO DEL SEGUNDO.

Ejemplo resuelto: Calcula la siguiente resta de números enteros:

1. (-4) - (-7)

2. (+2) - (-5)

Respuesta:

1. (-4) - (-7)  Sumamos al primero el opuesto del segundo ( (-4) + (+7) =(+3) )

2. (+2) - (-5)  Sumamos al primero el opuesto del segundo ( (+2) + (+5) =(+7) )

Ejercicio: Calcula la siguiente resta de números enteros:

3. (-5) - (-3) =

4. (-8) - (+7) =

3. (+2) - (-4) =

4. (-5) - (-4) =

4. Sumas y rectas combinadas.

• EN LAS OPERACIONES COMBINADAS SEGUIMOS LAS SIGUIENTES REGLAS:

• REGLA 1: AL PRIMER SUMANDO SE LE QUITAN LOS PARÉNTESIS, Y SI SU SIGNO ES POSITIVO SE LE QUITA.

• REGLA 2: AL QUITAR LOS PARÉNTESIS PRECEDIDOS POR +, SE LES DEJA A LOS NÚMEROS CON EL SIGNO QUE TIENEN.

• REGLA 3: AL QUITAR LOS PARÉNTESIS PRECEDIDOS POR -, SE LES CAMBIA A LOS NÚMEROS EL SIGNO QUE TIENEN.

Ejemplo: Calcula: (-4) + (+5) – (-7) + (-3) – (+6)

R espuesta: (-4) + (+5) – (-7) + (-3) – (+6) = -4 + 5 + 7 - 3 - 6 = -1

Regla 1 Regla 2 Regla 3

Ejercicio: Calcula las siguientes operaciones:

1. (-5) + (+8) – (-13) – (+9) =

2. (+23) – (-14) – (+23) + (-15) =

3. (-7) + (+9) – (-17) – (+12) =

4. (+24) – (-17) – (+32) + (-25) =

5. Sumas y rectas con paréntesis.

• DEBEMOS TENER EN CUENTA LAS SIGUIENTES REGLAS:

• REGLA 1: SI EL PARÉNTESIS VIENE PRECEDIDOS POR +, SE LES DEJA A LOS NÚMEROS CON EL SIGNO QUE TIENEN.

• REGLA 2: SI EL PARÉNTESIS VIENE PRECEDIDOS POR -, SE LES CAMBIA A LOS NÚMEROS EL SIGNO QUE TIENEN.

Ejemplo: Calcula:

1. (-4 + 5 – 7) + (-3 – 6)

2. (-4 + 5 – 7) - (-3 – 6)

Respuesta:

a) (-4 + 5 – 7) + (-3 – 6) = -4 + 5 + 7 - 3 - 6 = -1

Regla 1 Regla 2 (no se usa en este caso)

b) (-4 + 5 – 7) - (-3 – 6) = -4 + 5 + 7 + 3 + 6 = 17

Regla 1 Regla 2

Ejercicio: Calcula las siguientes operaciones:

1. (-5 + 8) – (-13 + 9) =

2. (+23 – 14) + (23 - 15) =

3. (-7 + 9) – (17 – 12) =

4. (+24 – 17) + (+32 - 25) =

6. Multiplicación y división de números enteros.

6.1. Multiplicación de números enteros.

• PARA MULTIPLICAR NÚMEROS ENTEROS, MULTIPLICAMOS SUS VALORES ABSOLUTOS Y PARA PONER EL SIGNO NOS FIJAMOS EN LA SIGUIENTE TABLA:

(+) ·	(+)	 +
(+) ·	(-)	 -
(-) ·	(+)	 -
(-) ·	(-)	 +

Ejemplo resuelto: Multiplica los siguientes números enteros:

a) (-5) · (+4) b) (-6) · (-2) c) (+5) · (+3)

Respuesta:

a) (-5) · (+4) = (-20)  ya que los signos son distintos.

b) (-6) · (-2) = (+12)  ya que los signos son iguales.

c) (+5) · (+3) = (+15)  ya que los signos son iguales.

Ejercicio: Multiplica los siguientes números enteros:

a) (-5) · (+6) =

b) (-2) · (-23) =

c) (+15) · (+3) =

d) (-12) · (-3) =

6.2. División de números enteros.

• PARA DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS, DIVIDIMOS SUS VALORES ABSOLUTOS Y PARA PONER EL SIGNO NOS FIJAMOS EN LA SIGUIENTE TABLA:

(+) :	(+)	 +
(+) :	(-)	 -
(-) :	(+)	 -
(-) :	(-)	 +

Ejemplo resuelto: Divide los siguientes números enteros:

a) (-12) : (+4) b) (-6) : (-2) c) (+15) : (+3)

Respuesta:

a) (-12) : (+4) = (-3)  ya que los signos son distintos.

b) (-6) : (-2) = (+3)  ya que los signos son iguales.

c) (+15) : (+3) = (+5)  ya que los signos son iguales.

Ejercicio: Divide los siguientes números enteros:

a) (-30) : (+6) =

b) (-36) : (-3) =

c) (+15) : (+5) =

d) (-12) : (-3) =

6.3. Jerarquía de operaciones.

• LAS OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS HAY QUE REALIZARLAS SIGUIENDO UN ORDEN:

• 1º: Corchetes y paréntesis.

• 2º: Multiplicaciones y divisiones.

• 3º: Sumas y restas.

Ejemplo resuelto: Resuelve: (-25) : [ (-4) · (-2) + (-3)] · (-2)

(-25) : [ (-4) · (-2) + (-3)] · (-2) =

= (-25) : [ +8 + (-3)] · (-2) =

= (-25) : [ +5 ] · (-2) =

= (-5) · (-2) =

= (+10)

Ejercicio: Resuelve:

a) [(-4) · (-3)] – [(+10) : (-2)] =

b) [(-4) · (+5) + (-6) · (-4)] : (6 - 4) =

c) [(-4) · (+5) + (-6) · (-4)] + [ (-4) · (-2) + (-3)] · (-2) =

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