3. feladatsor Vegyész A3c 2013/14. ősz
A 32 lapos magyar kártyából egyszerre 3 lapot húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között legalább egy zöld van?
Adjuk meg annak a valószínűségét, hogy egy totószelvényt vaktában kitöltve az első 13 mérkőzés eredménye közül éppen 8-at találunk el.
Mi a valószínűsége, hogy egy lottószelvényt kitöltve pontosan k találatunk lesz (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)? Mi a valószínűsége, hogy legalább 3 találatunk lesz?
1000 termék közül 50 selejtes. Találomra kiveszünk 10-et. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztottak között lesz selejtes, ha
a) visszatevéssel választunk?
b) visszatevés nélkül választunk?
Próbagyártás után két szempontból vizsgáljuk a késztermékeket. Az A esemény azt jelenti, hogy a vizsgált gyártmány anyaghibás, a B esemény pedig azt, hogy mérethibás. Tudjuk, hogy P(A) = 0.15, P(B) = 0.3 és P(AB) = 0.08. Mi a valószínűsége annak, hogy valamely késztermék hibátlan?
Egy vendéglő egyik asztalánál ülő 8 vendég 2 sört, 4 süteményt és 2 kávét rendel. A pincér véletlenszerűen teszi a vendégek elé az ételeket. Mi a valószínűsége, hogy mindenki azt kapja, amit rendelt?
Egyszerre dobunk 6 szabályos dobókockával. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább két dobókockán azonos pontszám lesz felül?
Dobókockával dobálunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a harmadik ötöst a nyolcadikra dobjuk?
Mi a könnyebb: 6 kockával legalább egy darab 1-est vagy 12 kockával legalább két darab 1-est dobni?
Legalább hány szabályos pénzdarabot kell feldobni ahhoz, hogy 0,9-nél nagyobb valószínűséggel legyen közöttük fej dobás?
Egy autóparkolóban tíz szomszédos hely van. Tudjuk, hogy hat hely reggel nyolcra már foglalt. Egy odaérkező teherautó csak akkor tud parkolni, ha a négy szabad hely éppen szomszédos. A teherautó-sofőr nyolc óra után azt tapasztalja, hogy nem tud parkolni, és ezt a balszerencséjének tudja be. Mennyire volt balszerencséje valójában?
Egy héten az ötös lottón két szelvényt tíz különböző számmal töltünk ki. Mi a valószínűsége, hogy
a) mindkét szelvényen nulla találatunk lesz?
b) egyik szelvénnyel sem nyerünk?
Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10 kockával dobva pontosan öt 6-ost dobunk?
20 darab 40 wattos és 30 darab 60 wattos égőből egymás után kiveszünk két darabot anélkül, hogy az elsőt visszatennénk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy
a) mindkettő 40 wattos lesz?
b) mindkettő 60 wattos lesz?
c) csak az egyik lesz 40 wattos?
Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a mintavételt visszatevéssel végezzük.
Határozza meg , , és értékeket, ha , , .
Egy évfolyam hallgatóinak 25% matematikából, 15%-a fizikából és 10%-a matematikából és fizikából jelesre vizsgázott. Mi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott hallgató a.) osztályzata matematikából jeles, ha fizikából jeles; b.) fizikából jeles az osztályzata, ha matematikából jeles; c.) legalább az egyik tárgyból jeles az osztályzata?
Egy hallgató 0.9 valószínűséggel látogatja a statisztika gyakorlatot. Ha bejött az egyetemre, akkor egyenlő valószínűséggel vehet részt három párhuzamosan tartott gyakorlat (teremben) valamelyikén. Mi a valószínűsége, hogy a harmadik teremben megtaláljuk, ha az első kettőben nem volt?
Bizonyítsuk be, hogy ha P(A) = 0.7 és P(B) = 0.8, akkor
Vegyszerrel szúnyogirtást végeznek. Az első permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradottakban annyi ellenálló-képesség fejlődik ki, hogy a második permetezéskor már csak az életben maradt szúnyogok 40%-a pusztul el, a harmadik irtáskor pedig csak 20%-uk. Mi a valószínűsége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést?
Három gép csavarokat gyárt. A gépek a termelés 25, 35, illetve 40%-át szolgáltatják. Az első gép 5% selejttel dolgozik, a második 4%-kal, a harmadik pedig 2%-kal. Az össztermékből kiválasztunk egy csavart. Mennyi a valószínűsége, hogy a csavar selejtes?
Legyen eseménytér. Számolja ki az esemény valószínűségét, ha azt tudjuk, hogy
a.) és ;
b.) és ;
c.) ;
d.) és
Útmutatók, megoldások, eredmények.
A feladatsor megoldását kezdje a következő fogalmak, tételek, definíciók áttekintésével: kombinatorikai alapfogalmak, formulák ismétlés nélküli és ismétléses változata. Valószínűség axiómái, és annak következményei. A független és egymást kizáró esemény. A feltételes valószínűség, a teljes valószínűség tétele.
Az összes eset száma: , az egyetlen zöldet sem tartalmazó kiválasztások száma: . A keresett valószínűség: .
Összes kitöltés száma , kedvezőesetek száma csak attól függ, hányféleképpen tippelhetünk a maradék 6 mérkőzésre: 36, és az eltalált 8 mérkőzésnek hányféleképpen választhatunk helyet az első 13 mérkőzés között . A keresett valószínűség, ezek hányadosa: .
Jelentse azt az eseményt, hogy éppen találatunk van. Így . Az előzőek alapján:
Mindkét esetben a komplementer eseményt ( nincs selejtes) könnyebb kiszámolni.
a.) , b.) .
5. Annak a valószínűsége, hogy egy termék legalább az egyik szempontba hibás:
Azt keressük, hogy egyik szempontból sem hibás. A de Morgan azonosságok alapján: . Így annak a valószínűsége, hogy egy termék hibátlan: 1-0,37= 0,63.
A klasszikus valószínűség számítás körébe tartozó feladat. A kedvező esetek ( 8 elem ismétléses permutációja) és az összes eset ( 8 elem permutációja) hányadosa. A keresett valószínűség: .
Egyszerűbb kiszámolni az ellentett esemény valószínűségét, azaz . Így a keresett valószínűség .
Az összes kimenetelek száma az első nyolc dobásra: 68. Kedvező esetek: mivel a 8. dobás 5-ös, a megelőző két 5-ös dobás helyének megválasztására lehetőség van, és a további 5 helyen 5 szám fordulhat elő. Így a keresett valószínűség: .
Annak a valószínűsége, hogy 6 dobás között lesz 1-es: .
Annak a valószínűsége, hogy 12 dobás közül nem dobunk 1-est, vagy csak egy db 1-es lesz: . Így a keresett valószínűség: , ez a kisebb.
Ha n pénzdarabot dobunk fel, akkor annak a valószínűsége, hogy nincs közöttük fej dobás, . a komplementer eseményre az egyenlőtlenséget megoldva , így legalább 4pénz darabot kell feldobni.
Az összes esetek száma. hogy 10 helyközül 6 hely foglalt: . A kedvező esetek száma: 7, mivel 4 szabad helynek egymás mellett kell lenni. Így a valószínűsége annak, hogy parkolni tud.
Nyereményünk a lottón akkor van, ha legalább 2 számot eltalálunk. A feladat szövege szerint 2 szelvényen 10 különböző számot jelölünk meg a.) . b.) .
Az összes lehetőségek száma 610. A kedvező esetek számát így határozhatjuk meg: a 10 hely közül 5-öt féleképpen választhatjuk ki. erre az 5 helyre 6-osokat írunk, a többi helyre pedig az 1,2,3,4,5 számok valamelyikét. Így a keresett valószínűség: .
Visszatevés nélküli mintavétellel:
b.) c.)
Visszatevéses mintavétellel (azaz az egyes húzások egymástól független események):
b.) c.)
A , a , a , és a összefüggések felhasználásával a keresett valószínűségek: , , .
Van két esemény F: fizika jeles osztályzat, M: matematika jeles osztályzat. Adott: P(M)=0,25; P(F)=0,15; P(FM)=0,1. A feltételes valószínűség definíciójának felhasználásával: , , és
E: jelentse azt az eseményt, hogy a hallgató bejött az egyetemre, P(E)=0,9. Ti: jelentse azt az eseményt, hogy az i-edik teremben van. P(Ti)=0,3. Keressük a . Feltételes valószínűség definíciója alapján: a kérdés. Mivel maga után vonja a eseményt, ezért a számlálóban szereplő valószínűség )=0,3. A nevező kiszámításához a de Morgan azonosságot és azt vesszük figyelembe, hogy a T2 és T3 esemény egymást kizáró, azaz az összeg valószínűsége megegyezik a valószínűségek összegével.
Így a keresett valószínűség: . Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem jött be az egyetemre, feltéve, hogy az első két teremben nem találtuk?
összefüggés felhasználásával adódik, hogy . Így .
Jelentse E1 , E 2 , E3 rendre azt az eseményt, hogy egy szúnyog túléli az első, a második és a harmadik permezezést. A valószínűséget keressük. Adottak: , és valószínűségek. Alkalmazzuk a szorzási tételt: .
A teljes valószínűség tételt kell alkalmazni. jelentse G1 ,G2 ,G3 rendre azt az eseményt, hogy a termék az első, a második és a harmadik gépen készült. A három esemény teljes esemény rendszert alkot, azaz nem készülhet egyszerre két gépen a termék és nincsenek további gépek. Tartozik a kísérlethez még egy esemény, az hogy a termék selejtes, ezt jelölje S. Adottak: , , és , ,
Mindegyik esetben abból, kell kiindulni, hogy az események teljes eseményrendszert alkotnak, azaz összegük a biztos esemény és egymást kizáró események. Különböző lineáris egyenletet, egyenletrendszer kell felírni azzal, hogy
MAGYAR KERESKEDELMI ÉS IPARKAMARA SZINTVIZSGA SZAKMAI GYAKORLATI FELADATSOROK FELÜL
MAGYAR KERESKEDELMI ÉS IPARKAMARA SZINTVIZSGA SZAKMAI GYAKORLATI FELADATSOROK FELÜLVIZSGÁLATA
MATEK KÖZÉP 2004 – 1 MINTAFELADATSOR I RÉSZ 1
Tags: feladatsor, 201314, vegyész