DERIVE
5.1 OPERACIONES CON VECTORES
En DERIVE los vectores se introducen incluyendo sus coordenadas entre corchetes.
Introduce y simplifica las siguientes expresiones:
u:=[3, 1, -2] v:=[5, 7, -3] w:=[-1, 0, 2]
(Se escribe := porque no se trata de una ecuación, sino de una asignación o definición).
Puedes introducir los tres vectores simultáneamente separándolos por “,” o por “;” y encerrándolo todo entre corchetes: [u:=[3, 1, -2] ; v:=[5, 7, -3] ; w:=[-1, 0, 2]]
Para realizar operaciones introduce y observa los siguientes ejemplos:
SUMA-RESTA u+v u-v u+v-w
PRODUCTO POR UN ESCALAR 7u -5v 2u-3v+5w
PRODUCTO ESCALAR uv uw vw
PRODUCTO VECTORIAL CROSS(u, v) CROSS(u, w)
PRODUCTO MIXTO uCROSS(v, w) (Recuerda la definición).
También puedes introducir los vectores directamente. Compruébalo con las siguientes expresiones:
[3, 2, 1][5, 4, -2]
CROSS([4, -1, 5], [3, -2, 1])
[4, -1, 2]CROSS([3, 1, 3], [7, 0, 1])
Como puedes observar, el producto mixto no tiene una expresión u operador específico, pero podemos definirlo nosotros.
Sabiendo que el producto mixto de tres vectores es el producto escalar del primero de ellos por el producto vectorial de los otros dos, construye una herramienta para hallarlo.
Para ello, introduce y simplifica la siguiente expresión:
PM(u, v, w):=uCROSS(v, w)
Compruébala introduciendo y simplificando las siguientes expresiones:
PM(u, v, w) PM([3, 1, 1] , [2, 4, 1] , [5, 1, 3])
Acabas de definir una herramienta para obtener el producto mixto de tres vectores cualesquiera.
Simplifica la expresión DET([u, v, w]) y comprueba que coincide con el resultado anterior de PM(u, v, w).
Por tanto, podías haber definido también PM(u, v, w):=DET([u, v, w]).
Define los siguientes vectores:
[u:=[a, b, c], v:=[d, e, f], w:=[g, h, i]]
Los corchetes externos permiten introducir los vectores simultáneamente.
Efectúa con DERIVE los siguientes productos:
uv CROSS(u, v) PM(u, v, w)
Observa los resultados y compáralos con lo aprendido en clase.
Practica
Asigna nuevos valores a u, v y w (en la forma u:=[…] ) y simplifica de nuevo las expresiones uv, CROSS(u, v) y PM(u, v, w).
Basta que sitúes el cursor sobre ellas y pulses Simplificar para actualizar los productos con los nuevos vectores.
Halla uv, CROSS(u, v) y PM(u, v, w) para los siguientes vectores:
u:=[1, 2, 1] v:=[-1, 1, -1] w:=[0, 3, 0]
u:=[0, 0, 0] v:=[-1, 1, -2] w:=[0, 2, -1]
u:=[123, 675, 432] v:=[-317, 401, -212] w:=[10, 27, -19]
u:=[3,51; 1,37; 2,41] v:=[-1,23; 2,31; -7,22] w:=[0,11; 2,43; -1,06]
DERIVE presupone que las coordenadas de los vectores están referidas a una base ortonormal. Pero podemos hallar las coordenadas de un vector respecto a otra base.
Sea una base B formada por los vectores u1, u2 y u3 cuyas coordenadas en una base ortonormal son u1:=[3, 1, -2], u2:=[1, 1, 1], u3:=[0, 2, 1].
Si las coordenadas de un vector en la base B son [5, 3 ,1], ¿cuáles serán sus coordenadas en la base ortonormal inicial?
Para hallarlas, introduce la “matriz del cambio de base”
m:=[3, 1, -2 ; 1, 1, 1 ; 0, 2, 1]
Observa que las filas se separan con “;” y los elementos de cada fila con “,” .
Las coordenadas pedidas se obtienen con la expresión [5, 3, 1]m.
Si las coordenadas de un vector en una base ortonormal son [18, 10, -6], ¿cuáles serán sus coordenadas en la base B? Hállalas con la expresión [18, 10, -6]m^-1. Recuerda la matriz inversa.
Comprueba el ejercicio resuelto 1 de la página 137 del libro. Para ello introduce y simplifica la expresión a[1, -2, 0]+b[0, -1, 3]+c[1, 0, -5]=[-1, 1, 0].
Con el resultado señalado, pulsa y asegúrate que se marcan las variables a, b y c. Al pulsar Simplificar obtendrás los valores correspondientes. Compáralos con los resultados del libro.
Resuelve los ejercicios propuestos en la página 137 del libro.
Comprueba el ejercicio 1 de la página 146 del libro.
Comprueba el ejercicio 4 de la página 147 del libro.
Resuelve los ejercicios 1 a 6 de la página 149 del libro. Recuerda que, en el espacio, tres vectores linealmente independientes siempre forman una base.
5.2 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES
¿Es conmutativo el producto escalar de vectores? ¿Y el producto vectorial? ¿Y el producto mixto? Para comprobarlo, compara los resultados de los siguientes pares de expresiones:
uv vu
CROSS(u, v) CROSS(v, u)
PM(u, v, w) PM(v, u, w)
Analiza otras propiedades observando los resultados de las siguientes expresiones. Previamente, puedes redefinir u, v y w. Puedes hacerlo simultáneamente agrupándolos entre corchetes:
[u:=[4, 1, -3], v:=[5, 1, -3], w:=[-2, 1, 1]]
Practica
SUMA DE VECTORES
(u+v)+w u+(v+w) u+v v+u 0+u v+(-v)
PRODUCTO POR UN ESCALAR
a(bu) (ab)u 1u
(a+b)u au+bu a(u+v) au+av
Observa que 0 puede ser interpretado por DERIVE como número o como vector nulo, según el contexto.
Compara el resultado de a-a y de u-u, de 0a y de 0u, etc.
PRODUCTO ESCALAR
|u| uv vu [0, 0, 0]u
(ab)u a(bu) u(v+w) uv+uw
Resuelve el ejercicio 7 de la página 149 del libro.
PRODUCTO VECTORIAL
CROSS(u, v) CROSS(v, u) CROSS(u, u)
CROSS(au, v) CROSS(u, v) CROSS(u, av)
CROSS(u, v+w) CROSS(u, v)+CROSS(u, w)
CROSS(u, v) DET[[i, j, k], u, v] Interprétalo.
Define los vectores de la base en la forma i:=[1, 0, 0], j:=[0, 1, 0] y k:=[0, 0, 1], y efectúa las siguientes operaciones:
CROSS(i, j) CROSS(i, k) CROSS(j, k)
CROSS(j, i) CROSS(k, j) CROSS(k, i)
Simplifica las siguientes expresiones y analiza la respuesta de DERIVE:
Halla CROSS(u, u) y CROSS(u, 3u).
Resuelve el ejercicio 13 de la página 149 del libro.
PRODUCTO MIXTO
PM(u, v, w) PM(v, u, w) PM(u, w, v) PM(v, w, u) PM(w, u, v)
PM(w, v, u) DET(u, v, w) Interprétalo.
PM(u, u, v) PM(u, 2u, v) PM(u, v, u+v) PM(u, v, 3u–5v)
Resuelve el ejercicio 17 de la página 149 del libro.
Practica asignando valores a u, v y w.
5.3 APLICACIONES. CONSTRUCCIÓN DE HERRAMIENTAS
Introduce u:=[2,-1,-2]. Su módulo es . Compruébalo.
DERIVE halla el módulo directamente con MOD(u) o con |u|. El símbolo | aparece en la parte superior derecha del teclado (tecla del 1).
En el caso de aplicar el módulo a un escalar, se obtiene el valor absoluto.
Halla el módulo de los siguientes vectores:
[3, 0, -4] [2, 5, -1] [32, 47, 12] [2,3; 3,1; 4,5]
Halla x para que el módulo de [2, -1, x] sea 3. Para ello, introduce y simplifica |[2, -1, x]|=3 y, con el resultado resaltado, pulsa el icono Resolver, especificando la incógnita x.
Normalización de un vector: consiste en hallar un vector paralelo de módulo la unidad. Para ello, basta dividir sus coordenadas por el módulo.
Para normalizar u:=[3, 1, 2] basta simplificar u/|u|. Puedes convertirlo en herramienta:
NORM(u):=u/|u|
Normaliza los siguientes vectores:
[3, 0, -4] [2, 5, -1] [32, 47, 12] [2,3; 3,1; 4,5] [a, b, c]
Resuelve el ejercicio 12 de la página 149 del libro.
Introduce u:=[2, -1, -2] y v:=[5, 2, -1]. El coseno del ángulo que forman se obtendrá simplificando la expresión uv/(|u||v|). ¿Es necesario el paréntesis?
Puedes definir una herramienta, ANG, para hallar el ángulo formado por dos vectores cualesquiera de la siguiente forma:
ANG(u, v):= ACOS(uv/(|u||v|)) El ángulo se obtendrá en radianes.
Pulsa ≈ en vez de = para obtener una aproximación decimal del ángulo.
Comprueba la función anterior con los siguientes vectores:
[3, 1, 2] y [-1, 3, 2] [1, 0, 0] y [0, 0, 1]
[3, 0, 0] y [5, 5, 5] [ , 1/2, 1] y [1/2, , 1]
Practica
Halla x para que los vectores u:=[1,5,2] y v:=[1,3,x] formen un ángulo de 30º. Para ello, introduce la expresión ANG(u, v)=/6 (recuerda que consideramos radianes). Resuelve en x el resultado con . También puedes escribir ANG(u, v)=30. El símbolo lo encontrarás en las líneas superiores de la ventana de introducción de expresiones.
Comprueba el ejercicio resuelto 5 de la página 147 del libro.
Resuelve los ejercicios 8 y 10 de la página 149 del libro.
Sabemos que el producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Según esto podemos definir:
PROY(u,v):= uv/|v|
Halla la proyección de u sobre v y de v sobre u (con los últimos valores de u y v).
Practica
Introduce u:=[5, 3, 7]. ¿Cuál será la proyección de u sobre i, j y k? ¿Y sobre 2i, 5j y –2k?
Resuelve el ejercicio 9 de la página 149 del libro.
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0. Introduce la siguiente función, PERP, para detectarlo automáticamente:
PERP(u, v):=IF(uv=0, “Son perpendiculares”, “No son perpendiculares”)
Pruébala con PERP([2, -1, 3], [-4, 2, -6]), PERP([2, -1, 2], [-4, 2, 5]) y PERP(v, w).
Practica
Halla x para que los vectores [2, 4, 1] y [5, x, 3] sean perpendiculares. Para ello, introduce [2, 4, 1][5, x, 3]=0 y, a continuación, resuelve la ecuación en la variable x con el icono .
Halla m y n para que los vectores [2, m, 1] y [n, 3, 1] sean perpendiculares. ¿Cuántas soluciones hay? Puedes “resolverlo” en n o en m.
Resuelve el ejercicio 11 de la página 149 del libro.
El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo construido sobre ellos. Define entonces:
AREA(u, v):=|CROSS(u, v)|
Compruébala con AREA(v, w).
Practica
Halla el área del triángulo de vértices p:=[3, 1, 2], q:=[5, 1, 4] y r:=[5, -1, 3]. Basta introducir los puntos y simplificar la expresión AREA(q-p, r-p)/2. Comprueba que coincide con AREA(p-r, q-r)/2.
Halla a para que p, q y s:=[a, 3, 1] formen un triángulo de área 5. Simplifica AREA(q-p, s-p)/2=5. A continuación, “resuelve” en la incógnita a la ecuación resultante.
Sin embargo, hay otra solución. También debes considerar AREA(q-p, s-p)/2=-5.
Recuerda: si una distancia, área o volumen son un resultado, se da en valor absoluto; pero si figuran como dato, hay que considerarlos con los dos signos.
Halla a para que p, q y s estén alineados. Basta simplificar y posteriormente resolver en x la expresión AREA(q-p, s-p)=0 (el área del paralelogramo será 0).
Resuelve el ejercicio 14 de la página 149 del libro.
VECTOR PERPENDICULAR A OTROS DOS
Recuerda que el producto vectorial CROSS(u, v) es perpendicular a y a . Puedes aplicarlo para obtener un vector de dirección de una recta cuando se da como intersección de dos planos. Lo usarás en la próxima unidad.
Practica
Halla un vector perpendicular a los vectores [3, 0, 2] y [2, 1, 0]. Basta simplificar CROSS([3, 0, 2], [2, 1, 0]).
Resuelve los ejercicios 15 y 16 de la página 149 del libro.
VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
Sabemos que el producto mixto (su valor absoluto) de tres vectores coincide con el volumen del paralelepípedo construido sobre ellos.
Halla el volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores:
[3, 1, 2] [4, 1, 5] [2, 7, -3]
Para ello, simplifica la expresión PM([3, 1, 2], [4, 1, 5], [2, 7, -3]). Observa que si permutas el orden, el resultado cambia de signo. Debes considerar el valor absoluto.
Practica
Halla a para que los vectores u(3, 2, 1), v(2, 4, 3) y w(a, 1, 2) formen las aristas de un paralelepípedo de volumen 1. Introduce los valores de u, v y w. Simplifica la expresión PM(u, v, w)=1 y resuelve en la incógnita a la ecuación resultante. También debes considerar PM(u, v, w)=-1.
Cuatro de los vértices de un paralelepípedo son:
p:=[3, 1, 2] q:=[5, 1, 4]
r:=[5, -1, 3] s:=[1, 5, 4] (puedes comprobar que no son coplanarios).
Halla el volumen de dicho paralelepípedo.
Para ello, calcula PM(q-p, r-p, s-p). ¿Hay más soluciones?
Evalúa PM(p-q, r-q, s-q).
Comprueba el ejercicio resuelto 9 de la página 148 del libro.
Resuelve los ejercicios 18, 19 y 20 de la página 149 del libro. Recuerda que si tres vectores son coplanarios, el paralelepípedo formado es de volumen 0.
Comprueba los ejercicios resueltos en la página 141 del libro y resuelve los ejercicios propuestos.
Comprueba los ejercicios resueltos en la página 144 del libro y resuelve los ejercicios propuestos.
Comprueba los ejercicios resueltos en la página 145 del libro y resuelve los ejercicios propuestos.
Resuelve los ejercicios 21 a 39 de la página 150 del libro. Recuerda que las coordenadas de los vectores deben ir entre corchetes, no entre paréntesis. Introduce agrupadas entre corchetes las ecuaciones correspondientes a las condiciones para resolver con los correspondientes sistemas. En el ejercicio 26 no se obtiene una solución única, sino una relación a=b.
OBSERVACIONES:
DERIVE trabaja con “listas”. Un vector es una lista de elementos, pero una matriz también es un vector, donde cada elemento es una fila. Teniéndolo en cuenta podemos interpretar el resultado de um y de mu si u es un vector y m una matriz.
Tras una asignación de la forma u:=, la letra u conserva un valor que puede producir resultados inesperados cuando se incluya en otras expresiones posteriores. Conviene “limpiar” las variables. Puedes hacerlo con la siguiente expresión:
INI:=[a:=, b:=, c:=, u:=, v:=, w:=, k:=]
Cada vez que simplifiques INI, se eliminarán los valores asignados.
a=5 representa una ecuación y a:=5 representa una asignación. Distingue los dos conceptos.
Unidad
5. Vectores en el espacio
AUTOR JOSÉ MARÍA ARIAS INTRODUCCIÓN HTTPWWWTERRAESPERSONALJARIASCAINFODERIVEDERIINDIHTM DERIVE ES UN
“BLOOD GLUCOSE NORMALIZATION OF DIABETIC MICE USING ESDERIVED INSULINPRODUCING
BIOLOGICAL FERTILISERS BIOFERTILISERS CAN BE DERIVED FROM MICROORGANISMS
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