Priprema za natjecanja iz matematike za 2. razred srednje škole - Kompleksni brojevi
ZADACI S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA:
1. Odredite realni i imaginarni dio kompleksnog broja , gdje je n prirodan broj.
2. Ako je z kompleksan broj takav da je z + z -1 = 1, izračunajte
z1981 + z1982 + z1983 + z1984 + z1985 .
3. Odredite vrijednost (tj. formulu) drugog korijena od z = a + bi (bez prijelaza na trig. oblik).
Posebno izračunajte .
4. Neka su z1 , z2 , z3 kompleksni brojevi za koje je .
Dokažite da vrijedi jednakost .
5. Neka su kompleksni brojevi z1 , z2 i z3 pridruženi trima točkama jedinične kružnice i
neka je z1 + z2 + z3 = 0. Dokažite da su tad te tri točke vrhovi jednakostraničnog trokuta.
6. Neka su z1 i z2 kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1.
Dokažite da je realan, a imaginaran broj.
7. Dokažite da točke reprezentirane u kompleksnoj ravnini kompleksnim brojevima z1 , z2 i z3
leže na jednom pravcu onda i samo onda ako je realan broj.
(Zadaci 1.-7. preuzeti su iz knjižice
Dujella, Bombardelli, Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola, Element, Zagreb, 1996., str. 46.-52.)
8. Odredite sva rješenja jednadžbe u skupu kompleksnih brojeva.
(županijsko natjecanje 1995.)
9. Neka je . Pokažite da je
(a+b+c)(a+bu+cu2)(a+bu2+cu)= a3 + b3 + c3 – 3abc.
(općinsko-gradsko natjecanje 1996.)
10. Izračunajte vrijednost produkta
(općinsko-gradsko natjecanje 2001.)
11. Nađite sve kompleksne brojeve z za koje vrijedi:
i .
(županijsko natjecanje 2001.)
12. Odredite i skicirajte skup točaka u kompleksnoj ravnini koji je određen uvjetom
.
(županijsko natjecanje 2002.)
UPUTE:
VAŽNO: Kod dosta zadataka koristi se identitet . ZAPAMTI GA!!!
Dokaz tog identiteta: Svaki kompleksni broj z može se zapisati u obliku z = x + yi.
Tada je .
1. Uputa: Izračunaj koliko je i dalje je lako.
2. Uputa: Kvadriraj i kubiraj jednakost z + z -1 = 1 pa ćeš dobiti z2 + z -2 = -1 i z3 = -1.
Zatim iz zadanog izraza izluči z1983 pa iskoristi gore dobivene jednakosti.
Usput je 1983 = 3 · 661 što isto treba iskoristiti.
Rješenje je –1.
3. Uputa: Stavi da je u = x + yi traženi drugi korijen. Tada je (x + yi)2 = a + bi.
Izjednači realne i imaginarne dijelove i dobit ćeš sustav jednadžbi iz kojeg izrazi nepoznanice x i y pomoću a i b.
Po dobivenoj formuli četvrti korijeni od su 2+i, -2-i, 1-2i, -1+2i.
4. Uputa: Pokaži da je tako da iskoristiš identitet i
pravila za konjugaciju zbroja, produkta, kvocijenta.
5. Uputa: Treba pokazati da su stranice trokuta jednake tj. .
Koristeći činjenicu da je (jer su na jediničnoj kružnici)
i identitet te gore zadanu jednakost to se lako pokaže.
Npr. , a isto to se dobije i za ....
6. Uputa: Kompleksni broj z je realan (tj. Im z = 0) ako i samo ako je . Zašto?
Neka je z = x + yi. Tada je jednako 0
ako i samo ako je y (odnosno njegov imaginarni dio) jednak 0
što znači da je z = x realan broj.
Slično, kompleksni broj z je imaginaran (Re z = 0) ako i samo ako je .
Za u zadatku tražene izraze to se lako pokaže koristeći identitet i
pravila za konjugaciju zbroja, razlike, produkta i kvocijenta.
(ZAPAMTI I GORE PODCRTANE TVRDNJE)
7. Uputa: Neka je z1 = x1 + y1i što odgovara točki ( x1 , y1 ) u koord. sustavu.
Slično i za druge dvije točke vrijedi z2 = (x2 , y2 ) i z3 = ( x3 , y3 ).
Točke ( x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) kolinearne su ako i samo ako je
(to je koef. smjera pravca na kojem se nalaze).
Sada se izraz zapiše pomoću z1 = x1 + y1i , ... i treba pokazati da je
imaginarni dio tog broja jednak 0 (što doista i je) koristeći gornju jednakost.
8. Uputa: Pomnoži jednadžbu s z, iskoristi identitet , pokaži da je
i dobit ćeš da je ta jednadžba ekvivalentna z6 = 1,
dalje koristi formule za razliku kvadrata, kubova,...
Ukupno ćeš imati 6 rješenja ( + ono trivijalno da je z = 0 )
9. Uputa: Pokaži da je u3 = 1, u4 = u i u + u2 = -1 pa to probaj iskoristiti da središ lijevu
stranu (izmnoži drugu i treću zagradu, probaj nešto izlučiti,
zatim ti se poništi broj u i sve to pomnoži s prvom zagradom).
10. Uputa: Probaj množiti samo prve dvije zagrade, pa prve tri,... da uspiješ dobiti
neku zakonitost koju ćeš lakše iskoristiti.
Inače, mislim da je zadatak jako težak – bar na način kao što je u rješenju.
11. Uputa: Ovo je lagan zadatak (npr. može se početi s z=x+yi) pa uputa niti ne treba.
Rješenje je .
12. Uputa: Ni ovo nije težak zadatak (opet stavi z=x+yi).
Najprije izraz izrazi pomoću x i y i onda riješi nejednadžbu.
Rješenje: i ne zaboravi skicu.
EUROPSKA UNIJA ULAGANJE U BUDUĆNOST PRIPREMA PROJEKATA I PODRŠKA
FUNKCIJE – PONAVLJANJE I PRIPREMA ZA PISANU PROVJERU ZNANJA
HACCP UTVRĐIVANJE I ANALIZA OPASNOSTI PRIJEDOLG PRIPREMA I POSLUŽIVANJE
Tags: matematike za, razred, priprema, matematike, natjecanja, srednje