PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE

DNEVNA PRIPREMA ZA VJERONAUČNI SAT I OPĆI PODACI O
DNEVNA PRIPREMA ZA VJERONAUČNI SAT I OPĆI PODATCI O
DNEVNA PRIPREMA ZA VJERONAUČNI SAT POVODOM PROGLAŠENJA BLAŽENIM MIROSLAVA

DNEVNA PRIPREMA ZA VJERONAUČNI SATSUSRET I OPĆI PODACI O
DNEVNA PRIPREMA ZA VJERONAUČNI SUSRET I OPĆI PODACI O
EKONOMSKI FAKULTET U OSIJEKU SMJER POSLOVNA INFORMATIKA PRIPREMA ZA

ZADACI S DJELJIVOŠĆU BROJEVA:

Priprema za natjecanja iz matematike za 2. razred srednje škole - Kompleksni brojevi

ZADACI S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA:



1. Odredite realni i imaginarni dio kompleksnog broja PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE , gdje je n prirodan broj.


2. Ako je z kompleksan broj takav da je z + z -1 = 1, izračunajte

z1981 + z1982 + z1983 + z1984 + z1985 .


3. Odredite vrijednost (tj. formulu) drugog korijena od z = a + bi (bez prijelaza na trig. oblik).

Posebno izračunajte PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .


4. Neka su z1 , z2 , z3 kompleksni brojevi za koje je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .

Dokažite da vrijedi jednakost PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .


5. Neka su kompleksni brojevi z1 , z2 i z3 pridruženi trima točkama jedinične kružnice i

neka je z1 + z2 + z3 = 0. Dokažite da su tad te tri točke vrhovi jednakostraničnog trokuta.


6. Neka su z1 i z2 kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1.

Dokažite da je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE realan, a PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE imaginaran broj.


7. Dokažite da točke reprezentirane u kompleksnoj ravnini kompleksnim brojevima z1 , z2 i z3

leže na jednom pravcu onda i samo onda ako je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE realan broj.


(Zadaci 1.-7. preuzeti su iz knjižice

Dujella, Bombardelli, Slijepčević: Matematička natjecanja učenika srednjih škola, Element, Zagreb, 1996., str. 46.-52.)



8. Odredite sva rješenja jednadžbe PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE u skupu kompleksnih brojeva.

(županijsko natjecanje 1995.)


9. Neka je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE . Pokažite da je

(a+b+c)(a+bu+cu2)(a+bu2+cu)= a3 + b3 + c3 – 3abc.

(općinsko-gradsko natjecanje 1996.)



10. Izračunajte vrijednost produkta

PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE

(općinsko-gradsko natjecanje 2001.)

11. Nađite sve kompleksne brojeve z za koje vrijedi:

PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE i PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .

(županijsko natjecanje 2001.)



12. Odredite i skicirajte skup točaka u kompleksnoj ravnini koji je određen uvjetom

PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .

(županijsko natjecanje 2002.)





UPUTE:




VAŽNO: Kod dosta zadataka koristi se identitet PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE . ZAPAMTI GA!!!

Dokaz tog identiteta: Svaki kompleksni broj z može se zapisati u obliku z = x + yi.

Tada jePRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .



1. Uputa: Izračunaj koliko je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE i dalje je lako.


2. Uputa: Kvadriraj i kubiraj jednakost z + z -1 = 1 pa ćeš dobiti z2 + z -2 = -1 i z3 = -1.

Zatim iz zadanog izraza izluči z1983 pa iskoristi gore dobivene jednakosti.

Usput je 1983 = 3 · 661 što isto treba iskoristiti.

Rješenje je –1.


3. Uputa: Stavi da je u = x + yi traženi drugi korijen. Tada je (x + yi)2 = a + bi.

Izjednači realne i imaginarne dijelove i dobit ćeš sustav jednadžbi iz kojeg izrazi nepoznanice x i y pomoću a i b.

Po dobivenoj formuli četvrti korijeni od PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE su 2+i, -2-i, 1-2i, -1+2i.


4. Uputa: Pokaži da je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE tako da iskoristiš identitet PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE i

pravila za konjugaciju zbroja, produkta, kvocijenta.


5. Uputa: Treba pokazati da su stranice trokuta jednake tj. PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .

Koristeći činjenicu da je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE (jer su na jediničnoj kružnici)

i identitet PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE te gore zadanu jednakost to se lako pokaže.

Npr. PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE , a isto to se dobije i za PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE ....


6. Uputa: Kompleksni broj z je realan (tj. Im z = 0) ako i samo ako je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE . Zašto?

Neka je z = x + yi. Tada je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE jednako 0

ako i samo ako je y (odnosno njegov imaginarni dio) jednak 0

što znači da je z = x realan broj.

Slično, kompleksni broj z je imaginaran (Re z = 0) ako i samo ako je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .

Za u zadatku tražene izraze to se lako pokaže koristeći identitet PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE i

pravila za konjugaciju zbroja, razlike, produkta i kvocijenta.

(ZAPAMTI I GORE PODCRTANE TVRDNJE)


7. Uputa: Neka je z1 = x1 + y1i što odgovara točki ( x1 , y1 ) u koord. sustavu.

Slično i za druge dvije točke vrijedi z2 = (x2 , y2 ) i z3 = ( x3 , y3 ).

Točke ( x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) kolinearne su ako i samo ako je

PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE (to je koef. smjera pravca na kojem se nalaze).

Sada se izraz PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE zapiše pomoću z1 = x1 + y1i , ... i treba pokazati da je

imaginarni dio tog broja jednak 0 (što doista i je) koristeći gornju jednakost.


8. Uputa: Pomnoži jednadžbu s z, iskoristi identitet PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE , pokaži da je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE

i dobit ćeš da je ta jednadžba ekvivalentna z6 = 1,

dalje koristi formule za razliku kvadrata, kubova,...

Ukupno ćeš imati 6 rješenja ( + ono trivijalno da je z = 0 )


9. Uputa: Pokaži da je u3 = 1, u4 = u i u + u2 = -1 pa to probaj iskoristiti da središ lijevu

stranu (izmnoži drugu i treću zagradu, probaj nešto izlučiti,

zatim ti se poništi broj u i sve to pomnoži s prvom zagradom).


10. Uputa: Probaj množiti samo prve dvije zagrade, pa prve tri,... da uspiješ dobiti

neku zakonitost koju ćeš lakše iskoristiti.

Inače, mislim da je zadatak jako težak – bar na način kao što je u rješenju.


11. Uputa: Ovo je lagan zadatak (npr. može se početi s z=x+yi) pa uputa niti ne treba.

Rješenje je PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE .


12. Uputa: Ni ovo nije težak zadatak (opet stavi z=x+yi).

Najprije izraz PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE izrazi pomoću x i y i onda riješi nejednadžbu.

Rješenje: PRIPREMA ZA NATJECANJA IZ MATEMATIKE ZA 2 RAZRED SREDNJE i ne zaboravi skicu.





3 / 3


EUROPSKA UNIJA ULAGANJE U BUDUĆNOST PRIPREMA PROJEKATA I PODRŠKA
FUNKCIJE – PONAVLJANJE I PRIPREMA ZA PISANU PROVJERU ZNANJA
HACCP UTVRĐIVANJE I ANALIZA OPASNOSTI PRIJEDOLG PRIPREMA I POSLUŽIVANJE


Tags: matematike za, razred, priprema, matematike, natjecanja, srednje