TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES






Topología de (II)

Topología de TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números RealesTOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES .

El conjunto de los números Reales es el conjunto que engloba a los siguientes números:

Los números Naturales TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

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Los números Enteros TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

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Los números Racionales TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

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y los números Irracionales TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES , hasta formar lo que conocemos como la Recta Real, que contiene una representación de todos los números rellenando completamente la recta.

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Estos números se representan sobre una recta por varios motivos:

   Es la única forma que tenemos de representar infinitos números en cada uno de los intervalos (hacemos corresponder cada punto de una recta con cada uno de los números).

   Es una forma de mantener las propiedades relativas al orden existente en los números reales:

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o también:

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Valor absoluto de un número Real

Se llama valor absoluto de un número real a y se representa |a| al número positivo de entre a y -a. Además, |0|=0.

Es decir:

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Intervalos y entornos en la recta real

Vamos a enumerar distintas formas de nombrar subconjuntos dentro de los números reales.

Para comenzar, si a la recta real se le añaden los dos elementos TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES y TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES , obtenemos la recta real ampliada que se representa por TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES :

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Además de la definición anterior, utilizaremos en adelante los siguientes subconjuntos:

Intervalo abierto: El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b:

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Intervalo cerrado: El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluyendo a a y a b:

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Intervalo semiabierto o semicerrado:

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Entorno simétrico:

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Entorno reducido:

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Entorno lateral a la izquierda:

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Entorno lateral a la derecha:

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Conjuntos acotados en la recta real

Un conjunto C de números reales se dice que está acotado superiormente si existe un número real K que es más grande que todos y cada uno de los elementos del conjunto, es decir:

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A ese número K se le llama cota superior de C. 

Un conjunto C de números reales se dice que está acotado inferiormente si existe un número real P que es más pequeño que todos y cada uno de los elementos del conjunto, es decir:

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A ese número P se le llama cota inferior de C. 

Un conjunto C de números reales se dice que está acotado si está acotado tanto superior como inferiormente.

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La menor de las cotas superiores de un conjunto (y la mayor de las cotas inferiores de un conjunto) recibe el nombre de extremos superior o supremo (extremo inferior o ínfimo) si esta cota no pertenece al conjunto, y recibe el nombre de máximo (mínimo) si la cota pertenece al conjunto. 

Ejemplos y Ejercicios

1º Estudiar la acotación de los siguientes conjuntos:

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2º Convierte las siguientes funciones con valor absoluto en funciones definidas a trozos (sin valor absoluto):

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Soluciones:


El intervalo TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES es un conjunto acotado (tanto superior como inferiormente) y que tiene como supremo al valor 8 y como ínfimo el valor 3. No tiene ni máximo ni mínimo.


Este conjunto se corresponde con los valores que hacen que TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES , es decir, TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES


Por tanto, el conjunto está acotado superiormente, pero no está acotado inferiormente. Además, el 3 es un máximo.


Este conjunto se corresponde con los valores que hacen que TOPOLOGÍA DE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES .


Por tanto, el conjunto está acotado superiormente, pero no está acotado inferiormente. Además, el 6 es un supremo.



Este conjunto se corresponde con los valores siguientes:


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Y al representarlos sobre la recta real, obtenemos que el conjunto está acotado (superior e inferiormente). Tiene como mínimo el -1 (pertenece al conjunto) y como supremo al 0 (no pertenece al conjunto, pues por muy grande que sea el denominador, nunca será igual a 0)





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