ÁLGEBRA CÓDIGO 3198 CURSO 20022003 CARGA






ÁLGEBRA LINEAL_______________________________________________________

ÁLGEBRA _________________

CÓDIGO: 3198 Curso 2002-2003

Carga docente: 6 créditos teóricos y 3 prácticos (asignatura anual).

Profesor: Rubén Puente

Departamento: Estadística e Investigación Operativa (Facultad de Ciencias).


OBJETIVOS


El primer objetivo es que un estudiante medio de matemáticas adquiera en este primer curso la mayor amplitud y profundidad posibles en álgebra abstracta, excluyendo el álgebra lineal. Debido a que es el primer encuentro con una disciplina matemática abstracta, el segundo objetivo es encaminar a los alumnos hacia una actitud matemática moderna, que constituye la base para un eventual trabajo más especializado en álgebra y de gran ayuda para cualquier estudio matemático formal ulterior..


PROGRAMA


Parte I : GRUPOS

1. Grupos. Motivación. Definición y propiedades elementales. Grupos finitos y tablas de grupo.

2. Subgrupos. Notación y terminología. Subconjuntos y subgrupos. Subgrupos cíclicos.

3. Permutaciones I. Aplicaciones y permutaciones. Grupos de permutaciones. Dos ejemplos importantes: el grupo simétrico S3 y el grupo diédrico D4.

4. Permutaciones II. Ciclos y notación cíclica. Permutaciones pares e impares. Grupos alternantes.

5. Grupos cíclicos. Propiedades elementales. Clasificación de grupos cíclicos. Subgrupos de grupos cíclicos finitos.

6. Isomorfismo. Definición y propiedades elementales. Cómo demostrar que dos grupos son isomorfos. Cómo demostrar que dos grupos no son isomorfos. El teorema de Cayley.

7. Productos directos. Productos directos externos. Productos directos internos.

8. Grupos abelianos finitamente generados. Generadores y torsión. El teorema fundamental (enunciado). Aplicaciones.

9. Grupos de clases laterales. Introducción. Clases laterales. Aplicaciones: el teorema de Lagrange.

10. Subgrupos normales y grupos factores. Criterio para la existencia de un grupo de clases laterales. Automorfismos internos y subgrupos normales. Grupos factores. Grupos simples. Aplicaciones.

11. Homomorfismos. Definición y propiedades elementales. El teorema fundamental del homomorfismo. Aplicaciones.

12. Series de grupos. Series normales y subnormales. El teorema de Jordan-Hölder

13 Grupos en geometría, análisis y en teoría de códigos.

13*. Teoremas del isomorfismo. Acción de un grupo en un conjunto.

14*. Grupos abelianos libres. Generadores y torsión. Grupos libres. Palabras y palabras reducidas. Grupos libres y grupos abelianos libres.


Parte II : ANILLOS Y CUERPOS

15. Anillos. Definición y propiedades básicas. Cuestiones multiplicativas. Cuerpos.

16. Dominios enteros. Divisores de cero y cancelación. Dominios enteros. Característica de un anillo. Teorema de Fermat.

17. El cuerpo de fracciones de un dominio entero. La construcción. Unicidad.

18. Anillos cocientes e ideales. Introducción. Criterio para la existencia de un anillo de clases laterales. Ideales i anillos cociente.

19. Homomorfismos de anillos. Definición y propiedades elementales. Ideales maximales y primos. Cuerpos de característica p (primo) y cero.

20. Anillos de polinomios. Polinomios en una indeterminada. Homomorfismos de evaluación.

21. Factorización de polinomios sobre un cuerpo. El algoritmo de la división en F[x]. Polinomios irreducibles. Ideales en F[x]. Factorización única.

22. Introducción a los cuerpos de extensión. Elementos algebraicos y trascendentes. El polinomio minimal. Extensiones simples.

23. Espacios vectoriales. Definición y propiedades elementales. Independencia lineal y bases. Dimensión. Aplicación a la teoría de cuerpos.

24. Extensiones algebraicas. Extensiones finitas. Cuerpos algebraicamente cerrados y clausura algebraica. Existencia de la clausura algebraica.

25. Construcciones geométricas. Números construibles. Imposibilidad de ciertas construcciones.

26. Automorfismos de cuerpos. Automorfismos y cuerpos fijos. Cuerpos de descomposición.

27*. Cuerpos finitos. Estructura de un cuerpo finito. Existencia de cuerpos finitos de orden pn.

28*. Aplicaciones de la teoría de cuerpos a la codificación.



OBSERVACIONES


Conocimientos previos:

Haber cursado con aprovechamiento la asignatura Álgebra Lineal (3178).


Prácticas: Resolución de problemas en el aula.


Evaluación: Examen parcial eliminatorio en Febrero. Examen final, en Junio, que incluye la repetición voluntaria del examen de Febrero. Las calificaciones de los exámenes de Febrero y Junio carecen de validez en las convocatorias de Septiembre y de Diciembre (cuyo programa es el del curso anterior). Los exámenes serán escritos, a libro abierto, y consistirán en la resolución de problemas similares a los propuestos durante el curso, de dos tipos: a) que impliquen familiaridad con ejemplos (contraejemplos) de los objetos, definiciones y propiedades estudiados, b) demostraciones de propiedades sencillas similares a las realizadas durante las clases o en los ejercicios y problemas propuestos.



BIBLIOGRAFÍA


Referencias básicas:


Referencias complementarias:






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