VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 1 ESEMÉNYEK DEFINÍCIÓ PÉLDA VÉLETLEN JELENSÉGEK AZOK A

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás

1. Események

Definíció	Példa
Véletlen jelenségek azok a jelenségek, melyeket az ismert feltételek nem határoznak meg egyértelműen. A jelenségnek ettől még van „oka”, csak nem tudjuk teljes egészében feltárni.	Ha egy pénzérmét feldobunk, nem tudjuk előre, hogy melyik oldalára esik.
Kísérletet végzünk, ha egy véletlen jelenséget megfigyelünk. A kísérletet akárhányszor ugyanolyan körülmények között végrehajthatjuk.	A pénzérme feldobásakor lehet, hogy fejet, lehet, hogy írást kapunk. Sőt még az is előfordulhat, hogy az érme az élére esik.
Pontosa meg kell mondanunk, hogy mit tekintünk a kísérlet kimenetelének. A kísérlet minden eredményéhez kell tartozzon egy egyértelműen meghatározható kimenetel.	Elhanyagolható annak az esélye, hogy az érme az élére esik, ezért csak azt figyeljük, hogy az érmével fejet vagy írást dobtunk, ezeket tekintjük a kísérlet kimenetelének.
Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségekre vonatkozó kísérlet kimenetelét.	Elemi események: F (fejet dobunk), I (írást dobunk)
Eseménytérnek nevezzük az elemi események halmazát. Jele: H.	H = {F, I}

Definíció:

Eseményeknek nevezzük az eseménytér részhalmazait. Egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele az eseménynek megfelelő részhalmazba tartozó elemi esemény.

Definíció:

Biztos esemény a H halmazhoz tartozó esemény, amely mindenképpen bekövetkezik. Jele: H.

Definíció:

Lehetetlen esemény az üres halmazhoz tartozó esemény, amely semmiképpen sem következhet be. Jele: 

Példa:

Egy fagyizóban már csak háromféle fagyi van: csokoládé, vanília és málna (ezekből még sok). Egy vevő 4 gombócos fagyit kér, de rábízza a fagylaltárusra, hogy milyen fagylaltot ad neki. A következő események közül válasszuk ki a biztos és a lehetetlen eseményeket:

A: Mindegyik fajtából kapott.

B: Valamelyik fajtából legalább 2 gombócot kapott.

C: Mindegyik gombóc különböző.

D: Két gombóc csokoládét kapott.

(B – biztos, C – lehetetlen)

2. Műveletek eseményekkel

Definíció:

Két esemény egyenlő, ha a kísérlet bármely kimenetele esetén vagy mindkettő teljesül, vagy egyik sem.

Definíció:

Az A esemény komplementere az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jele:

Bármely esemény komplementerének komplementere az eredeti esemény:

A biztos esemény komplementere a lehetetlen esemény: 

A lehetetlen esemény komplementere a biztos esemény:

Példa:

Egy kockával dobunk, és keressük a következő események komplementerét, és az egyenlő eseményeket:

A: legfeljebb 3-ast dobunk.

B: legalább 3-ast dobunk.

C: a dobott szám kisebb, mint 3.

A = 1, 2, 3

B = 3, 4, 5, 6, 

C =1, 2

= 4, 5, 6

= 1, 2 = C

= 3, 4, 5, 6 = B

Definíció:

Tetszőleges A és B események összege az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor A vagy B bekövetkezik. Jele: A + B.

Definíció:

Tetszőleges A és B események szorzata az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor A és B bekövetkezik. Jele: .

Definíció:

Tetszőleges A és B események egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz .

	Összeadás	Szorzás
Kommutativitás
Asszociativitás
Disztributivitás
Elnyelési azonosság
Lehetetlen esemény	A +  =A	A .  =
Biztos esemény	A + H=H	A . H =A
Esemény komplementere		
De Morgan azonosságok

3. Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség

Definíció:

Ha n kísérletből az A esemény k-szor következett be, akkor k-t az A esemény gyakoriságának, -et pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.

A relatív gyakoriság nem lehet negatív: mivel és n  0, ezért .

A biztos esemény relatív gyakorisága 1, mert a biztos esemény minden kísérletnél bekövetkezik, így k = n.

Egymást kizáró események összegének relatív gyakorisága a tagok relatív gyakoriságának összege.

Adott esemény valószínűségének azt a számot tekintjük, ami körül a relatív gyakoriság ingadozik. Az A esemény valószínűségének jele: P(A).

A valószínűséget nem definiáljuk, hanem axiómákkal határozzuk meg:

I. axióma: Ha A tetszőleges esemény, akkor P(A)  0.

II. axióma: P(H) = 1.

III. axióma: Ha A és B tetszőleges események, melyekre = , akkor P(A + B) = P(A) + P(B).

4. A valószínűség klasszikus modellje

A valószínűség klasszikus modellje akkor alkalmazható, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van, és ezek valószínűsége egyenlő. Ekkor egy esemény valószínűsége egyenesen arányos az eseményt alkotó elemi események számával:

Tétel:

Tetszőleges A eseményre: .

Bizonyítás:

Tetszőleges A eseményre és 0, ezért a valószínűség III. axiómája alapján . A II. axióma szerint P(H) = 1 ezért , amiből a tétel állítása következik.

Tétel:

Tetszőleges A és B eseményekre: .

5. Geometriai valószínűség

Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg úgy, hogy az események valószínűsége az eseményhez rendelt részhalmaz geometriai mértékével arányos, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.

6. Alkalmazások:

Matematikai:

A kombinatorika a valószínűség-számítás kombinatorikus modelljénél használatos.

Matematikán kívüli:

Statisztikai vizsgálatok

Közvélemény-kutatás

Biztosítótársaságoknál a valószínűség-számítás segítségével számítják ki, hogy mekkora biztosítási díjat kérjenek az ügyfelektől.

Tags: definíció példa, véletlen, jelenségek, definíció, valószínűségszámítás, események, példa