Concavidade e ponto de inflexão :
Definição e propriedades relacionadas com o sinal da 2a derivada
Concavidade
Definição : Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe f’(c). Dizemos que f tem concavidade voltada para baixo em I se, e somente se, para todo x I, sendo x diferente de c, o ponto P(x, f(x)) do gráfico de f se encontra abaixo da reta tangente ao gráfico de f no ponto Po(c, f(c)).
Definição : Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe f’(c). Dizemos que f tem concavidade voltada para cima em I se, e somente se, para todo x I, sendo x diferente de c, o ponto P(x, f(x)) do gráfico de f se encontra acima da reta tangente ao gráfico de f no ponto Po(c, f(c)).
Teorema : Seja f uma função derivável num intervalo aberto (a, b). Então
se f”(x) 0, x (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua convexidade voltada para cima (a curva é côncava) neste intervalo.
ii) se f”(x) 0, x (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua convexidade voltada para baixo (a curva é convexa) neste intervalo.
Exemplos :
1) f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f’(x) = 3x2 –12x + 9 f”(x) = 6x – 12 x = 2
f”(2) > 0, se x > 2 f”(2) < 0, se x < 2
a curva de f tem sua convexidade voltada para cima para x > 2.
a curva de f tem sua convexidade voltada para baixo para x < 2.
f(x) = 2 – x2
f’(x) = - 2x f”(x) = - 2 < 0 a convexidade da curva é sempre orientada para baixo.
3) f(x) = ex
f’(x) = ex f”(x) = ex > 0 a convexidade da curva é sempre orientada para cima.
Definição : Dizemos que o ponto (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico da função f, se o gráfico da função f tiver neste ponto reta tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que, se x I, então
f”(x) < 0, se x < c e f”(x) > 0, se x > c.
f”(x) > 0, se x < c e f”(x) < 0, se x > c.
Isto é, “se f muda de concavidade em c”.
Teorema : Seja y = f(x) a equação da curva. Se f”(c) = 0 ou f”(c) não existe e a derivada Segunda f”(x) muda de sinal passando pelo valor x = c, o ponto da curva da abcissa x = c é um ponto de inflexão.
Exemplos :
f(x) = x3
f(x) = x1/3
f(x) = e –x2 ( curva de Gauss)
y’ = -2x e –x2 y’’ = 2 e –x2(2x2 – 1) x1 = - 2-1/2 e x2 = 21/2 (pontos de inflexão)
A função tem um máximo em y = 1.
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