DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIO EXISTEM ALGUMAS RESTRIÇÕES NO DOMÍNIO

6 Cinética Química Algumas Observações Relativas à Determinação da

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Determinação de Domínio

Existem algumas restrições no domínio, são elas:

i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);

ii - Não existe divisão por zero;

iii - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;

iv - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;

v - Não existe tangente de 90° nem de 270°.

De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com certeza são as duas primeiras.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

SOLUÇÃO:
Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f( )=2.( )²+1, então f( )=11
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}

Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine:

DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIO EXISTEM ALGUMAS RESTRIÇÕES NO DOMÍNIO

a) O Domínio:

b) A imagem

c) f(5)

d) f(12)

SOLUÇÃO:
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada
D={5, 12, 23}.

b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então:
Im={7, 14, 25}

c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7

d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
a) -5
b) -4
c) 0
*d) 4
e) 5

SOLUÇÃO:
Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo, 2.g(x) = - 4x +4  g(x) = -2x + 2
Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.
Logo, a alternativa correta é a letra D.

Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a  a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b  b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas

Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x₁ x₂  f(x₁)  f(x₂) .

Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.

Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais  tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u x = u + 5

Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x² + 1) = - 2x² + 2,
para todo x R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3

Solução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x² + 1) = a(2x² + 1) + b
Como f(2x² + 1) = - 2x² + 2, vem, igualando:

a(2x² + 1) + b = - 2x² + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax² + a + b = -2x² + 2

Então, poderemos escrever: 2a = -2 a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3  y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog  gof .

O gráfico a seguir, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f^-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIO EXISTEM ALGUMAS RESTRIÇÕES NO DOMÍNIO

A função f: R  R , definida por f(x) = x² :
a) é inversível e sua inversa é f ^-1 (x) =  x
b) é inversível e sua inversa é f ^-1(x) = -  x
*c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora

SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa.
Ora, a função f(x) = x², definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x² é o conjunto R ⁺dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta é a letra C.

Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
*a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc

SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b  fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d  gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b  d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .

Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.

SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1  f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.

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