LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES E DETERMINANTES 1 DETERMINE

CONTENIDO LISTA DE FIGURAS VII LISTA DE TABLAS IX
0 PREZES SĄDU APELACYJNEGO W WARSZAWIE LISTA
1 GW1 LISTA KONKURSOWA 042015 HW0 POLSKIEGO

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1 LISTA KONKURSOWA 012017 POLSKIEGO ZWIĄZKU HODOWCÓW
79 ANEXO 3 LISTA DE BIENES
BROJ 080220512380912 DATUM 30112012 GODINE LISTA KANDIDATA KOJI

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Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes

Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes

1. Determine a matriz A = (aij)_3x3 tal que aij = i – j.

2. Construa as seguintes matrizes:

A = (aij)_3x3 tal que aij =

B = (bij)_3x3 tal que bij =

3. Construa a matriz A = (aij)_3x2 tal que aij =

4. Seja a matriz A = (aij)_3x4 tal que aij = , então a₂₂ + a₃₄ é igual a:

5. Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)_3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.

6. Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)_3x3.

7. Dada a matriz A = (aij)_4x4 em que aij = , determine a soma dos elementos a₂₃ +a₃₄.

8. Seja a matriz A = (aij)_5x5 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.

9. Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i² – 7j.

10. Determine a e b para que a igualdade = seja verdadeira.

11. Sejam A = e B = , determine (A + B)^t.

12. Dadas as matrizes A = e B = , determine x e y para que A = B^t.

13. Resolva a equação matricial: = x + .

14. Determine os valores de x e y na equação matricial: .

15. Se o produto das matrizes é a matriz nula, x + y é igual a:

16. Se , determine o valor de x + y.

17. Dadas as matrizes A = B = e C = , calcule:

a) A + B b) A + C c) A + B + C

18. Dada a matriz A = , obtenha a matriz x tal que x = A + A^t.

19. Sendo A = (aij)_1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)_1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.

20. Determine os valores de m, n, p e q de modo que: .

21. Determine os valores de x, y, z e w de modo que: .

22. Dadas as matrizes A = , B = e C = , calcule:

a) A – B b) A – B^t – C

23. Dadas as matrizes A = , B = e C = , calcule o resultado das seguintes operações:

a) 2A – B + 3C b)

24. Efetue:

a) b) c)

25. Dada a matriz A = , calcule A².

26. Sendo A = e B = e C = , calcule:

a) AB b) AC c) BC

27. Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. Sabendo que C A + B, determine C².

28. Calcule os seguintes determinantes:

a) b) c)

29. Se a = , b = e c = , determine A = a² + b – c².

30. Resolva a equação = -6.

31. Se A = , encontre o valor do determinante de A² – 2ª.

32. Sendo A = , calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.

33. Calcule o valor do determinante da matriz A =

34. Resolva a equação

35. Se A = (aij)_3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det A^t.

36. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: , com base na fórmula p(x) = det A, determine:

1. o peso médio de uma criança de 7 anos

2. a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.

37. Calcule o valor do determinante da matriz A= .

38. Resolva a equação = 3.

39. Se A = , calcule o valor do determinante de .

40. Considere a matriz A = (aij)_2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para . Determine o determinante de A.

41. Determine o determinante da seguinte matriz .

42. Dada a matriz A = e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?

43. Seja A = (aij)_3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det A^t.

44. Calcule os determinantes das matrizes A = e B = , usando o teorema de Laplace.

45. Resolva as equações:

a) = 0 b) = 0 c) = 0

46. Sabendo – se a = e b = , calcule o valor de 3a + b².

47. Dada a matriz A = , calcule:

a) det A b) det A²

48. Determine o valor de cada determinante:

a) b) c)

49. Calcule o determinante da matriz P², em que P é a matriz P = .

50. Na matriz , calcule:

1. seu determinante

2. os valores de x que anulam esse determinante

51. Determine em IR a solução da equação: = 8 – log⁸₄.

52. Sabendo que a = e b = , efetue a² – 2b.

53. Determine a solução da equação: = 0.

54. Determine o determinante da matriz .

55. Resolver a equação = 0

56. Resolva as equações:

a) = 0 b) = 2 c) = 0

Questão 1 (PM AC 2012 – Funcab). Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é -2, calcule o valor do determinante da matriz 3A.

A) – 8

B) – 54

C) 27

D) 18

E) – 2

 

Resolução:

Para resolvermos a questão, vamos utilizar uma das propriedades das determinantes:

 

Onde n é a ordem da matriz quadrada.

 

Desta propriedade temos que:

 

Resposta: B

 

 

Questão 2 (PM AC – Funcab). Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A).

A) 10

B) -140

C) 270

D) 130

E) -35

 

Resolução:

Calculando o determinante de uma matriz 2×2:

DetA = 7.4 – 2.(-13) = 28 + 26 = 54

Logo,

5.DetA = 5.54 = 270

Resposta: C

 

 

Questão 3 (PM PR 2010 – Cops). Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.

Essa trajetória é dada pela equação:

a) x – y = 0

b) x + y – 5 = 0

c) x – 2y + 2 = 0

d) 2x + 2y – 8 = 0

e) x + 2y – 6 = 0

 

Resolução:

A equação pode ser descoberta calculando o determinante da matriz abaixo, que relaciona os pontos P(x,y),  A(2,2)  e  B(4,1):

|  x    y   1  |   x    y

|  2    2   1  |   2   2

| 4     1   1  |   4   1

 

Fazendo o produto das diagonais principais menos o produto das diagonais secundárias:

2x + 4y + 2 – 8 – x – 2y = 0

x + 2y – 6 = 0

Resposta: E

 

 

Questão 4 (RFB 2009 – Esaf). Com relação ao sistema

onde

pode-se, com certeza, afirmar que:

a) é impossível

b) é indeterminado

c) possui determinante igual a 4

d) possui apenas a solução trivial

e) é homogêneo

 

Resolução:

Podemos separar a segunda igualdade em duas:

2x – y = 3z + 2  =>  2x – y – 3z = 2

2x + y = z + 1   =>  2x + y – z = 1

 

Temos então três equações:

x + y + z = 1

2x – y – 3z = 2

2x + y – z = 1

 

Que podem ser associadas a matriz:

|  1   1     1  |

|  2  -1  -3  |

|  2   1  -1   |

 

Vamos calcular seu determinante:

|  1   1   1  |  1   1

|  2  -1  -3 |  2  -1

|  2   1  -1  |  2   1

 

Det = 1.(-1).(-1) + 1.(-3).2 + 1.2.1 – 2.(-1).1 – 1.(-3).1 – (-1).2.1

Det = 1 – 6 + 2 +2 + 3 + 2

Det = 4

Resposta: C

 

 

Questão 5 (ANAC – ESAF 2016). Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz 2A é igual a:

a) 40.

b) 10.

c) 18.

d) 16.

e) 36.

 

Resolução:

Temos duas formas de resolver a questão. Podemos calcular o determinante da matriz A e depois utilizar a propriedade P3 que se encontra em nosso material didático, ou calcular diretamente o determinante da matriz 2A. Vamos resolvê-la pelo primeiro método, utilizando a regra de Sarrus:

DetA = 2.1.4 + 1.1.0 + 3.1.1 – 0.1.3 – 1.1.2 – 4.1.1

DetA = 8 + 0 + 3 – 0 – 2 – 4

DetA = 5

 

Utilizando a propriedade citada:

Det2A = 2³.DetA

Det2A = 8.5

Det2A = 40

 

Resposta: A

• M

• CONTATO

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Confira aqui as mais importantes propriedades dos determinantes, ferramentas poderosas que auxiliam e agilizam a resolução de questões.

Não deixe de ver também nossos conteúdos sobre os outros tópicos da álgebra linear.

Bom estudo!

 

 

PROPRIEDADE 1

Sempre que uma matriz apresentar todos os elementos de uma mesma linha (ou coluna) iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 2

Sempre que uma matriz apresentar duas linhas (ou duas colunas) iguais, o valor do seu determinante será igual a zero.

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 3

Toda matriz que apresente duas linhas (ou duas colunas) com elementos de valores proporcionais, o valor do determinante será igual a zero.

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 4

Quando multiplicamos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz por uma constante k, o determinante da nova matriz passa a ser multiplicado por k.

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 5

Quando multiplicamos uma matriz quadrada A por um número real k, o novo determinante passa a ser multiplicado por kⁿ, onde n é a ordem da matriz A.

det(k.A) = kⁿ . detA

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 6

O valor do determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

DetA = det(A^t)

 

 

PROPRIEDADE 7

Quando trocamos duas linhas (ou duas colunas) de posição em uma matriz, o valor do determinante passa a ser o oposto do determinante da matriz original.

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 8

O valor do determinante de uma matriz triangular pode ser calculado apenas multiplicando os elementos da diagonal principal.

 

Exemplo:

 

 

PROPRIEDADE 9

Dadas duas matrizes quadradas de mesma ordem, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes.

det(A.B) = detA . detB

 

 

PROPRIEDADE 10

Quando multiplicamos todos os elementos de uma mesma linha (ou coluna) por um mesmo número e somamos a outra linha (ou coluna), temos uma nova matriz que apresenta o mesmo determinante da anterior.

 

 

PROPRIEDADE 11

O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original.

 

 

Gostou do nosso conteúdo sobre as propriedades dos determinantes?

Deixe o seu comentário.

• Questão 1 (PM AC – IBADE 2017). Sabe-se que o determinante da matriz M vale 2 e o determinante da matriz N vale 8. Se M e N são matrizes de ordem 2, o valor do det[(2.M^T).(4.N^-1)] é:

• a) 2³

• b) 2²

• c) 2¹

• d) 2⁴

• e) 2⁰

•  

• Resolução

•  

• Sabendo que det(AB) = detA . detB, temos que:

• det[(2.M^T).(4.N^-1)] = det(2.M^T) . det(4.N^-1)

•  

• Sabendo que det(k.A) = kⁿ.detA, onde n é a ordem da matriz quadrada A, temos que:

• det(2.M^T) . det(4.N^-1) = 2².det(M^T) . 4².det(N^-1) = 4.det(M^T) . 16.det(N^-1) = 64.det(M^T).det(N^-1)

•  

• Sabendo que det(A^T) = detA, e det(A^-1) = 1/detA, temos que:

• 64.det(M^T).det(N^-1) = 64 . detM . 1/detN

•  

• Como detM = 2 e detN = 8, temos que:

• 64 . detM . 1/detN = 64.2.1/8 = 16 = 2⁴

•  

• Resposta: D

CLUB CICLISTA 53X13 C CLAVEL 4
DATE 08042002 1354 FROM BIVEC TO BIVECPESQUISADORLISTASNUCAIEUFRJBR BIVECMAILLISTASNUCAIEUFRJBR
DE LA MANO DE PACO COSTAS LOS AUTOMOVILISTAS

Tags: determinantes 1., dos determinantes, exercícios, matrizes, determine, sobre, determinantes, lista

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