Elektřina a magnetismus
Obvod střídavého proudu
Ukázky zařazené v tomto odstavci (tj. obrázky 4 až 7) se vztahují k učebnici:
O.Lepil, P.Šedivý: „Fyzika pro gymnázia, Elektřina a magnetismus“, vyd. Prométheus s.r.o., Praha 1998.
Obr.4, Obvod střídavého proudu s odporem, časová závislost napětí a proudu
Na obrázku jsou vykresleny průběh střídavého napětí u(t)=Umsin(ωt) na odporu R a proudu i(t)=Um/Rsin(ωt)=Imsin(ωt), který odporem protéká. Veličiny Um, ω, R můžeme nastavovat na posuvnících a sledovat, že splňují uvedené vztahy.
Obr.5, Obvod střídavého proudu s indukčností, časová závislost napětí a proudu
Na obrázku jsou vykresleny průběh střídavého napětí
u(t) = Umsin(ω t) (1)
na cívce o indukčnosti L a proudu, který můžeme měřit na cívce v obvodu, kde zanedbáváme odpor a kapacitu. V učebnici je uveden časový průběh obou veličin měřený na osciloskopu. Checeme-li odvodit časový průběh proudu početně uvažme, že elektromotorické napětí indukované na cívce platí uL= - L . Jestliže u(t) je dáno podle (1), pak proud procházející cívkou vypočteme z
Δi = 1/L.u(t).Δt, tj
i(t) = i(0) + 1/L. . (2)
Pozn: Sčítáním v (2) budeme numericky odhadovat integrál 1/L , (tj. obsah plochy pod křivkou u( ) od =0 po =t), který po dosazení podle (1) není problém analyticky vypočítat, ale předpokládáme, že žáci se doposud o integrálech neučili a my je o nich tedˇ nemáme dost času učit. Krok na časové ose (resp. v tabulce) není problém zvolit v Excelu dostatečně malý pro správné úvahy o fázovém posuvu křivky 1/L oproti u(t). Integrační aditivní konstantu i(0) odhadneme tak, aby křivka 1/L kmitala mezi krajními hodnotami, které mají stejnou absolutní hodnotu, tj. ׀i(0) ׀ = Im , i(0) = -Im a tato hodnota je dosazována do prvního řádku tabulky ve sloupci i/mA.
V tabulce Excelu sečteme do druhé buňky sloupce i/mA obsah předchozí (první) buňky téhož sloupce a součin hodnoty druhé buňky sloupce u/V přenásobené krokem Δt ve sloupci t/s (tj. zde rozdíl druhé a první buňky sloupce t/s). Další řádky vesloupci i/mA dostaneme tažením myší za pravý dolní roh druhé buňky sloupce i/mA. Podle vzhledu křivky i(t) vidíme, že platí
i(t) = - Im.cos(ω t) = Im.sin(ω t - π/2) , (3)
tedy že křivka proudu i(t) se o čtvrt periody T/4 (φ= to= to= ) opoždˇuje vzhledem k časovému průběhu napětí u(t).
Ve čtvrtém sloupci tabulky jsou pro srovnání vypočteny hodnoty i1(t) podle vzorce (3) (modrý tisk).
Veličiny Um, ω, L můžeme měnit na posuvnících a srovnáním hodnot křivky i(t) v tabulce s hodnotou počítanou podle vztahu
Im = Um/(ω L) (4)
a ověřit přibližně, že (4) platí, tj. že XL = Um/Im = ω L.
Obr.6, Obvod střídavého proudu s kapacitou, časová závislost napětí a proudu
Na obrázku jsou vykresleny průběh střídavého napětí u(t) a proudu i(t) v obvodu s kapacitou C, jestliže na desky kondenzátoru přivádíme střídavé napětí. V učebnici je obrázek časového průběhu obou veličin v obvodu s kondenzátorem z osciloskopu. Pro početní odvození uvažme, že pro velikost náboje na deskách kondenzátoru platí (el. náboj a statické pole):
Q = C.U .
Podle definice elektrického proudu
I = ,
a pro střídavý proud tedy
i(t) = C. . (2)
V tabulce jsou uvedeny a na obrázku vykresleny závislosti: u(t) počítaná podle (1) a závislost i(t) počítaná podle (2) tak, že do buňky prvního řádku a druhého sloupce označeného i/10-2A je počítán podíl rozdílu hodnot prvního a druhého řádku sloupce u/V a rozdílu hodnot prvního a druhého řádku sloupce t/s (tj. Δu/ Δt) a tažením za pravý dolní roh této buňky dostaneme hodnoty v dalších řádcích sloupce i/10-2A.
Poznámka: Popsaným postupem provádíme číselný odhad derivace (čímž žáky, kteří derivace v matematice ještě neprobírali, nemusíme zatěžovat), který je dostatečně přesný pro úvahy o fázovém posunu časové závislosti křivky proudu oproti napětí v obvodu s kondenzátorem. Podrobnější úvahy o přesnosti odhadu derivace funkce diferencí jsou v příloze A.
Na obrázku 6 vidíme, že pro časový průběh proudu platí
i(t) = Im.cos(ω t) = Im.sin(ω t + π/2) , (3)
tedy že křivka proudu i(t) předbíhá o čtvrt periody T/4 křivku časového průběhu napětí u(t).
Ve čtvrtém sloupci tabulky jsou pro srovnání vypočteny hodnoty i1(t) podle vzorce (3) (modrý tisk).
Na posuvnících v obrázku můžeme měnit Um, ω, C a srovnáním hodnot tabelovaných ve třetím sloupci s hodnotou počítanou podle vzorce
Im = C.ω.Um (4)
ověřit přibližně, že (4) platí, tj., že XC = Um/Im = 1/( ω.C).
Obr. 7a, 7b Výkon střídavého proudu
Obrázky 7a, 7b jsou vytvořeny stejnou aplikací a odlišují se jen zadáním velikostí účinníku φ (φ = 0 v obr.7a, φ = π/2 v obr. 7b).
Na obrázku 7 je vykreslen časový průběh křivek napětí u(t) = Umsin(ωt), proudu
i(t) = Im.sin(ω t + φ) a výkonu p(t) = u(t).i(t). Veličiny Um, Im, ω, φ můžeme měnit na posuvnících. Můžeme ověřit, že
a/ křivka p(t) má dvakrát větší kmitočet než křivky i(t), u(t),
b/ při daných (pevně nastavených) hodnotách Um, Im, ω ovlivňuje hodnota φ polohu křivky p(t) v ose y tak, že pro φ = - π/2 nebo φ = π/2 je právě tolik hodnot p(t) na intervalu jedné periody T kladných, kolik je jich záporných a jejich součet bude nulový, zatímco při φ = 0 jsou všechny hodnoty p(t) kladné a součet bude maximální.
Do buňky P/W = u.i = je počítán součet hodnot v buňkách čtvrtého sloupce tabulky p=u.i/W (odhad integrálu ). Zároveň je do buňky označené P = UmImcosφ/2 = vypočítávána hodnota podle tohoto vzorce. Obě hodnoty můžeme srovnávat pro různě nastavené hodnoty Um, Im, ω, φ a ověřit tak, že činný výkon je (pro dané hodnoty Um, Im, φ) dán vztahem
P = ,
tj. nezávisí na frekvenci a nabývá největší hodnoty pro φ = 0 a nulové hodnoty pro
φ = - π/2 nebo φ = π/2.
Tags: elektřina a, gymnázia, elektřina, elektřina, ukázky, zařazené, proudu, střídavého, magnetismus, obvod