ABSTÄNDE UND WINKEL C HECKOUT KLAUSURVORBEREITUNG – SELBSTEINSCHÄTZUNG CHECKLISTE
734374, Lambacher Schweizer, Service-CD
Abstände und Winkel
C
heck-out:
Klausurvorbereitung – Selbsteinschätzung
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Checkliste „Abstände und Winkel“ |
Testauf‑ |
Kann ich schon |
Da bin ich fast sicher |
Ich bin noch un‑ |
Kann ich noch nicht |
Hilfen im Buch, die man bei Problemen nacharbeiten kann (LE = Lerneinheit) |
Trainingsaufgaben |
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1. Ich kann mithilfe eines Punktes und des Normalenvektors eine Ebenengleichung aufstellen. |
1 |
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LE 1, Beispiel 1 |
LE 1, A. 1 und 2 |
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2. Ich kann Ebenengleichungen aus drei Punkten ermitteln, wenn diese nicht auf einer Geraden liegen. |
2 |
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LE 1, Beispiel 2 und 3 |
LE 1, A. 3 und 7 |
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3. Ich kann die Lage einer Ebene im Koordinatensystem mithilfe der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen und darstellen. |
3 |
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LE 1, Randspalte zu den Aufgaben |
LE 1, A. 13 und 14, LE 2, A. 4 |
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4. Ich kann die Koordinaten-gleichung einer Ebene aus den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen bestimmen. |
4 |
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LE 1, Randspalte zu den Aufgaben |
LE 1, A. 10 |
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5. Ich kann die Lage einer Geraden bezüglich einer Ebene ermitteln. |
5 |
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LE 2, Merkkasten, Beispiel |
LE 2, A. 1 - 3 |
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6. Ich kann die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen. |
6 |
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LE 2, Infokasten |
LE 2, A. 10 |
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7. Ich kann den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen. |
7 |
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LE 3 Merkkasten, Beispiel 1 |
LE 3, A. 1 und 2, A. 6 und 10 a) |
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8. Ich kann die Gleichung einer Ebene berechnen, die von einer gegebenen Ebene einen bestimmten Abstand hat. |
8 |
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LE 3, Beispiel 2 |
LE 3, A. 2 und 5 |
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9. Ich kann den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen. |
9 |
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LE 4, Merkkasten |
LE 4, A. 1 und 3 |
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10. Ich kann den Abstand windschiefer Geraden berechnen. |
10 |
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LE 5, Merkkasten Beispiel 1 |
LE 5, A. 1, 2 und 6 |
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11. Ich kann den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnen. |
11 |
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LE 6, Merkkasten Beispiel |
LE 6, A. 1 und 6 |
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12. Ich kann den Schnittwinkel zweier Ebenen berechnen. |
12 |
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LE 6 Merkkasten Beispiel |
LE 6, A. 5b und 17 |
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13. Ich kann den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen. |
13 |
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LE 6 Merkkasten Beispiel |
LE 6, A. 3, 4 und 8 |
Abstände und Winkel
C
heck-out:
Klausurvorbereitung – Test- und Trainingsaufgaben
1 Gegeben
ist eine Ebene E durch ihren Normalenvektor
und dem Ebenenpunkt P (0 | 2 | − 1).
Geben Sie die Normalenform der Ebene E an und berechnen Sie ihre Koordinatenform.
2 Die Punkte A (1 | 2 | 1), B (− 2 | 4 | 1) und C (4 | 1| − 1) legen eine Ebene fest. Geben Sie für die Ebene eine
a) Parametergleichung b) Normalengleichung c) Koordinatengleichung an.
3 Zeichnen Sie einen Ebenenausschnitt, der die Lage der Ebene im Koordinatensystem kennzeichnet.
a) 2 x1 + 6 x2 + 3 x3 = 6 b) 5 x1 − 2 x2 + 4 x3 = 20 c) 2 x2 + 3 x3 = 12
d) 3 x1 + 4 x3 = 12 e) − 2 x3 = − 6 f) 2 x2 − 12 = 0
4 Für die folgenden Ebenen sind alle Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen angegeben. Geben Sie jeweils eine Koordinatengleichung dieser Ebenen an.
a) Sx (3 | 0 | 0); Sy (0 | 2 | 0); Sz (0 | 0 | 4) b) Sx (1 | 0 | 0); Sy (0 | − 6 | 0); Sz (0 | 0 | 5)
c) Sy (0 | − 5 | 0); Sz (0 | 0 | 2) d) Sx (8 | 0 | 0)
e) Sx (8 | 0 | 0); Sz (0 | 0 | − 2) f) Sx (1 | 0 | 0); Sy (0 | 1 | 0); Sz (0 | 0 | 1)
5 Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E: 7 x1 − 3 x2 + 3 x3 = 14.
a) g1:
b) g2:
c) g3:
6 Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1: x1 + x2 − 2 x3 = − 1 und E2: 2 x1 + x2 − 3 x3 = 2
a) ohne Hilfsmittel, b) mit dem GTR.
7 Berechnen Sie den Abstand des Punktes R (1 | 6 | 9) von der Ebene E: x1 + 4 x2 + 8 x3 = 340.
8 Gesucht ist die Gleichung einer zu E1: 2 x1 + 3 x2 + 6 x3 = 6 parallelen Ebene E2, die zu E1 den Abstand von 21 Längeneinheiten hat.
9 Berechnen Sie den Abstand des Punktes R von der Geraden g.
a) R (2 | 4 | 4); g:
b) R (3 | 6 | 15);
g:
10 Berechnen
Sie den Abstand der Geraden g:
und h:
voneinander. Geben Sie auch die Lotfußpunkte an.
11 Die
Geraden g:
und h:
schneiden sich. Berechnen Sie ihren Schnittwinkel.
12 Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E1: 2 x1 + 2 x2 − 7 x3 = 2 und E2: x1 + x2 − 2 x3 = − 3.
13 Bestimmen
Sie den Winkel, unter dem die Gerade g:
die Ebene E: 2 x1 + x2 + 2 x3 = 55
schneidet.
Abstände und Winkel
C
heck-out:
Klausurvorbereitung – Test- und Trainingsaufgaben –
Lösungen
1 Die
Normalenform ist E:
.
Für die Koordinatenform gilt E: x1 + 2 x2 − 3 x3 = d
mit
,
also x1 + 2 x2 − 3 x3 = 7.
2 Aus
A (1 | 2 | 1), B (− 2 | 4 | 1)
und C (4 | 1 | − 1) und damit
und
folgt
a) z. B.
.
b) Der Normalenvektor
muss zu den Spannvektoren
und
orthogonal sein.
Daraus folgt das Gleichungssystem
,
also
.
Wählt man n3 = 3, dann erhält man
den Normalenvektor
und damit eine Normalenform mit
E:
.
c) 
;
eine Koordinatenform der Ebene E ist damit E:
4 · x1 + 6 x2 + 3 x = 19.
3
|
a)
c)
e)
|
|
b)
d)
f)
|
4 a) 4 · x1 + 6 x2 + 3 x3 = 12 b) 30 · x1 − 5 x2 + 6 x3 = 30 c) − 2 x2 + 5 x3 = 10
d) x1 = 8 e) x1 − 4 x3 = 8 f) x1 + x2 + x3 = 1
5 Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E: 7 x1 − 3 x2 + 3 x3 = 14
a) g1: 7 · (4 + 3 t) − 3 · (5 + 8 t) + 3 · (1 + t) = 14
führt zu 16 = 14;
keine Lösung, also ist
g1 parallel zu E.
b) g2: 7 · (2 + 6 t) − 3 · (1 + 16 t) + 3 · (1 + 2 t) = 14 führt zu 14 = 14; unendlich viele Lösungen, also liegt g2 in E.
c) g3: 7 · (17 + 3 t) − 3 · (5 + t) + 3 · (5 + t) = 14
führt zu 119 + 21 · t = 14;
t = − 5; also schneiden sich g3 und E für
t = − 5.
:
Der Schnittpunkt ist S (2 | 0 | 0).
6 a) Für
die gemeinsamen Punkte sind die Lösungen des LGS
zu berechnen.
Die Subtraktion der Gleichungen ergibt x1 − x3 = 3. Für x3 = t erhält man den allgemeinen Geradenpunkt
(3 + t | − 4 + t | t) und als
Geradengleichung g:
.
b)
|
|
g:
|
7 Die
zu E senkrechte Gerade durch R kann durch die Gleichung
beschrieben werden. Schnittpunkt F von Gerade und Ebene:
1 + t + 4 (6 + 4 t) + 8 (9 + 8 t)
= 340; 97 + 81 t = 340; 81 t = 243; t = 3,
also F (4 | 18 | 33).
Es ist
mit dem Betrag 27. Der Punkt R hat also von E einen Abstand von 27
Längeneinheiten.
8 Ein Ebenenpunkt von E1 ist offensichtlich P1(0 | 0 | 1).
Eine zu E1 senkrechte Gerade durch P1 ist
.
Ihr Schnittpunkt P2 mit E2 soll den Abstand 21
von P1 haben. Es ist
und damit
Wegen
der Parallelität kann man E2 mit
2 x1 + 3 x2 + 6 c3 = d
ansetzen und den Punkt P2 einsetzen. Damit ist E2:
2 x1 + 3 x2 + 6 c3 = 153.
9 a) R (2 | 4 | 4);
g:
Ebene senkrecht zu g durch R: 2 x1 − x 2 + 4 x3 = 16
Schnittpunkt F mit der Geraden: 2 (6 + 2 t) − (2 − t) + 4 (12 + 4 t) = 16; 58 + 21 t = 16; t = − 2, also F (2 | 4 | 4)
= 6; der Abstand zwischen R und F beträgt 6 Längeneinheiten.
b) R (− 2 | 5 | 0) ; g:
Ebene senkrecht zu g durch R: 2 x1 + 5 x2 + 14 x3 = 21
Schnittpunkt F mit der Geraden: 2 (3 + 2 t) + 5 (6 + 5 t) + 14 (15 + 14 t) = 21; 246 + 225 t = 21; t = − 1, also
F (1 | 1 | 1);
;
der Abstand von R zu F beträgt
Längeneinheiten.
10 g:
und h:
Der Differenzvektor zweier beliebiger Punkte beider Geraden ist
.
Er muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren sein. Also gilt
und
.
Daraus folgt das Gleichungssystem
.
Durch Umformung erhält man
mit den Lösungen
und
.
Eingesetzt in die Geradengleichung erhält man die Lotfußpunkte
und
.
Damit ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden
(LE).
11 
;
= 29,81°
12 Der
Schnittwinkel beider Ebenen ist gleich dem Schnittwinkel zwischen den
Normalenvektoren
und
;
;
13,26°
13 
;
71,02°
|
|
©
Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2015 | www.klett.de | Alle
Rechte vorbehalten |
Autor: Peter Neumann
, |
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S |
Tags: abstände und, schneidet. abstände, klausurvorbereitung, selbsteinschätzung, winkel, heckout, checkliste, abstände
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