SOLUCIÓN PRIMERO VANOS A DEMOSTRAR DADO UN HEXÁGONO (MODELO

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Solución

Primero vanos a demostrar dado un hexágono (modelo topológico) en el que hemos pintado todas las conexiones entre sus vértices con dos colores (rojo y azul), hay al menos un triángulo de un solo color.

Dado un vértice, por ejemplo el 1, con él se relacionan los otros cinco formando cinco segmentos y al menos tres de ellos deben ser del mismo color, supongamos que son rojos los segmentos entre el 1 y los vértices 2, 3 y 4.

Si alguno de los segmentos entre estos tres vértices fuese rojo, por ejemplo el formado por el 2 y el 3, entonces el triángulo formado por los vértices 1, 2 y 3 sería rojo.

Si ninguno de los segmentos entre estos tres vértices fuese rojo, entonces el triángulo formado por los vértices 2, 3 y 4 sería azul.

Luego siempre existe un triángulo de un solo color.

Vamos ahora con el polígono de 17 lados coloreado de rojo, azul y amarillo. Nos volvemos a fijar en el vértice 1, como de el parten 16 segmentos y tenemos tres colores, al menos hay un color del que se han pintado 6 segmentos, pongamos que es el rojo y que los segmentos son con los vértices 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Si alguno de los segmentos entre estos seis vértices es rojo, por ejemplo, el 2-3, entonces, el triángulo formando por los vértices 1, 2 y 3 sería rojo.

En caso contrario los seis vértices 2, 3, 4, 5, 6 y 7 están unidos por segmentos de color azul y amarillo, y como hemos demostrado en el apartado anterior, debe haber por lo tanto al menos un triángulo de un solo color (azul o amarillo)..

Si queréis profundizar sobre este tema podéis empezar por la wiki Teoría de Ramsey y tirar del hilo.

En este desafío hemos demostrado el valor de dos números de Ramsey

R(3; 3) = 6 y R(3; 3; 3) = 17

Y como apuntaba Jabon, si queremos escalar el problema, podemos obtener fácilmente los números oficinas (R) en función del número de motos (n) mediante la fórmula

Rn+1=n * (Rn - 1) + 2











Motos (n)

Oficinas (Rn)

2

6

3

17

4

66

5

327

6

1958

7

13701

8

109602

9

986411

10

9864102

11

108505113

12

1302061346

13

16926797487






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