MATEMATIKA DÍL X MGR ALENA TICHÁ OBSAH VLASTNOSTI MATEMATICKÝCH

KIS SÁNDOR MATEMATIKAVERSENY 201819 TANÉV SZAKKÖZÉPISKOLA III FORDULÓ
14 ZÁŘÍ 2013 VY32INOVACE110119FINANCNIMATEMATIKAJEDNODUCHEPRIKLADYPRACOVNILIST ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ 1 PODNIKATEL SI
20112012 BATXILERGO SARI BEREZIAK GIZARTE ZIENTZETAN APLIKATURIKO MATEMATIKAK IZANGAIENDAKO

---

21 CARA PEMEROLEHAN PENGETAHUAN DAN IMPLIKASINYA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA
41 MATA PELAJARAN MATEMATIKA UNTUK SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP)MADRASAH
42 MODUL 2 PEMECAHAN MASALAN MATEMATIKA MODUL 2 PEMBELAJARAN

---

MATEMATIKA

MATEMATIKA

díl X.

Mgr. Alena Tichá

Obsah:

VLASTNOSTI MATEMATICKÝCH OPERACÍ

Základní operace s čísly a jejich vlastnosti známe již od základní školy a možná i déle – jen si tyto vlastnosti možná neuvědomujeme a, přiznejme si, s přibývajícím věkem ztrácíme jistotu. Proto zopakujeme úplné základy a dáme tomu „vědeckou“ formu.

Základní pojmy:

Sčítání – operace značená znaménkem + ; čísla, která sčítáme jsou sčítanci; výsledek je součet

O dčítání – operace značená znaménkem – ; čísla se jmenují menšenec a menšitel; výsledek je rozdíl

Násobení – operace značená tečkou (od dřívějšího x se upustilo, aby se to nepletlo s proměnnými); čísla se jmenují činitel a výsledek je součin

Dělení – operace značená dvojtečkou (dělení naznačuje i zlomková čára nebo lomítko); čísla se jmenují dělenec a dělitel; výsledek je podíl

M ocnina – operace naznačená horním indexem (jmenuje se exponent = mocnitel); číslo, které umocňujeme se jmenuje základ mocniny (nebo mocněnec); výsledek je mocnina

Absolutní hodnota – operace značená - jedná se o vzdálenost čísla od nuly měřená na číselné ose; proto je výsledkem vždy kladné číslo

Vlastnosti operací

1. uzavřenost množiny vůči dané operaci

Množinu nazýváme uzavřenou vůči dané operaci, pokud výsledkem této operace je číslo právě z této množiny. Pokud množina není uzavřená, je otevřená.

Jednodušeji: Když sčítám přirozená čísla, součet je zase přirozené číslo => množina přirozených čísel je uzavřená vůči sčítání.

Když násobím dvě přirozená čísla, součin je zase přirozené číslo => množina přirozených čísel je uzavřená vůči násobení.

Když odčítám dvě přirozená čísla, rozdíl může být i záporný (tedy mimo obor přirozených čísel) => množina přirozených čísel je otevřená vůči odčítání.

Když dělím dvě přirozená čísla, podíl může být desetinné číslo => množina přirozených čísel je otevřená vůči dělení.

Když přirozené číslo umocním přirozeným číslem, mocnina je zase přirozené číslo => množina přirozených čísel je uzavřená vůči umocňování.

Když odmocním přirozené číslo, odmocnina nemusí být přirozené číslo => množina přirozených čísel je otevřená vůči odmocňování.

Úkol : Pokuste se určit uzavřenost vůči výše uvedeným operacím u dalších číselných množin (celá, racionální a reálná).

2. komutativnost operace

Matematická operace je komutativní, pokud platí pro všechna čísla a,b: a operace b = b operace a.

Jednodušeji: Při výpočtu nezáleží na pořadí čísel – pokud se čísla zamění, výsledek bude stejný.

Např. sčítání je komutativní, protože už dávno víme, že 2 + 3 = 3 + 2 a tedy obecně a + b = b + a.

Umocňování komutativní není, protože neplatí 2³ = 3² (2³ = 8; 3² = 9)

3. asociativnost operace

Matematická operace je asociativní, pokud čísla můžeme libovolně sdružovat.

Jednodušeji: Lze tedy libovolně „hýbat“ se závorkami nebo závorky úplně vynechat a výsledek bude stále stejný (pozor – hovoříme o závorkách při výpočtu stejné operace!!!)

Např. sčítání je asociativní, protože platí

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Umocňování asociativní není, neboť neplatí

;

4. distributivnost operace

Tuto vlastnost nebudu popisovat obecně, ale vysvětlím na příkladě, který také už dávno známe: Operace násobení je distributivní vůči sčítání, neboť násobíme-li součet dvou a více čísel, musíme vynásobit každý sčítanec.

Jednodušeji: Jedná se vlastně o popis roznásobení závorek tj. a. (b + c) = a.b + a.c

Podobně by např. byla popsána distributivnost umocňování vůči sčítání tj. (platí tento vztah a je tedy umocňování distributivní vůči sčítání ?!!!)

Úkol : Pokuste se určit vlastnosti všech operací, které nejsou uvedeny ve výkladu jako příklad.

Další vlastnosti

1. rozklad v desítkové soustavě

Veškeré výpočty prováděné v matematice (až na výjimky) provádíme v tzv. desítkové soustavě.

Mnohokrát se hodí umět číslo rozložit na násobky desítek a také znát správné názvosloví.

Ukážu na jediném čísle a bude jasno, o čem je řeč:

Úkol : 1) Napište čísla podle slovního zadání:

a) dvacet pět celých sto třicet dvě stotisíciny

b) jeden milion šedesát tři celých čtyři miliontiny

c) žádná celá pětiset třicet dvě stotisíciny

2) Přečtěte správně čísla:

a) 234 562,789 67

b) 0,000 002 4

c) 123,100 56

2. zaokrouhlování

Ačkoliv je matematika exaktní (tj. přesná) věda, ne vždy potřebujeme čísla úplně celá a stačí nám jen jejich přibližná hodnota (značíme ).

Tak vznikla pravidla o zaokrouhlování.

Chceme-li číslo zaokrouhlit, díváme se na číslo následující za místem, kde zaokrouhlujeme.

1. Stojí-li na tomto místě čísla 0, 1, 2, 3 nebo 4, zaokrouhlujeme dolů – tj. na nejbližší menší číslo.

2. Stojí-li na tomto místě čísla 5, 6, 7, 8 nebo 9, zaokrouhlujeme nahoru – tj. na nejbližší vyšší číslo.

Toto je tzv. matematické zaokrouhlování – jiné vědy mohou používat zaokrouhlování jiné – třeba v účetnictví se některé částky zaokrouhlují vždy nahoru apod.

V této souvislosti je nutno rozumět některým formulacím – uvedu jen některé příklady:

1. „zaokrouhlit na dvě desetinná místa“ znamená zaokrouhlit na setiny; o zaokrouhlení tedy rozhodne číslo na místě tisícin: (nuly na konci desetinného čísla nepíšeme)

2. „zaokrouhlit na dvě platné číslice“ znamená zaokrouhlit tak, aby se na začátku čísla vyskytla dvě za sebou jdoucí nenulová čísla

3. porovnávání

Porovnat dvě čísla znamená zjistit, které je větší nebo menší nebo jestli se rovnají.

Značení:

číslo vlevo je menší než číslo vpravo

číslo vlevo je menší nebo rovno číslu vpravo (má význam vylučovací buď – anebo)

číslo vlevo je větší než číslo vpravo

číslo vlevo je větší nebo rovno číslu vpravo

čísla se rovnají

čísla se nerovnají

Všimněte si platnosti některých vztahů a přemýšlejte o dalších:

1)

2)

3)

4)

Zlomky porovnáváme tak, že je převedeme nejprve na společný jmenovatel a pak porovnáme jen čitatele.

Úkol : Dané řady čísel srovnejte podle velikosti vzestupně:

a)

b) čísla v a) zaokrouhlete na jedno desetinné číslo a srovnejte

c)

DĚLENÍ MNOHOČLENŮ

• učivo o mnohočlenech jsme probírali již v 1. ročníku – dělení jsme však vynechali

• při dělení je vždy nutno uvádět podmínky řešitelnosti – tj. dělitel musí být nenulový

1) Dělení mnohočlenu jednočlenem

např.

• podmínka:

• dělíme tak, že každý člen mnohočlenu vydělíme jednočlenem

dělení se zbytkem:

- podmínka:

2) Dělení mnohočlenu mnohočlenem

• nejprve si připomeneme, jak jsme se učili (asi ve třetí třídě základní školy) dělení vedle sebe (neboli „s ocáskem“)

• dělení např.

1. najdeme nejbližší číslo zleva dělitelné 112 a označíme si jej

2. vydělíme a výsledek napíšeme za rovnítko

3. zpětně násobíme výsledek postupně čísly 2,1 a 1 (číslo 112 v opačném pořadí) a sepisujeme pod číslo 127

krát

4. u sepsaného čísla změníme znaménko, protože jej odečteme od 127 a tím získáme zbytek dělení

5. ke zbytku dopíšeme další číslici (tj. 4) a s tímto číslem opakujeme celý postup b) – e)

6. pokud dělení vychází se zbytkem, zapisujeme jej zpravidla do závorky nebo ve formě zlomku

Pozn. Později jsme se naučili kroky c) a d) provádět zpaměti a nikoliv písemně.

Podobný postup aplikujeme na mnohočleny:

podm.

1. oba mnohočleny seřadíme od nejvyšší mocniny po nejnižší (zde už je seřazeno)

2. vydělíme mezi sebou první členy a zapíšeme výsledek

3. z

   x³.( –1)= – x³

   pětně násobíme výsledek celým(!!) mnohočlenem a sepisujeme s opačným znaménkem

x³.x = + x⁴

4. vypočteme zbytek a dopíšeme k němu zbylou část mnohočlenu

5. postup b) – d) opakujeme až po nejnižší mocninu

:

=

x.(x – 1)

6. zbytek píšeme výhradně formou zlomku

Úkol : Vydělte, uveďte podmínky a proveďte zkoušku násobením:

a)

b)

c)

VZORCE PRO GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Připomenu nejprve vzorce, které už známe ze základního učiva o goniometrických funkcích:

Další vztahy mezi funkcemi nebudu odvozovat, ale ukážu jejich použití:

1) Součtové vzorce

Příklady:

a) Bez kalkulačky určete , když znáte tyto hodnoty:

- úhel je možné zapsat jako a proto:

- použijeme součtový vzorec

- dosadíme

b) Zjednodušte výraz:

• použijeme součtové vzorce:

Úkol : Pomocí součtových vzorců a známých hodnot goniometrických funkcí úhlů 30^o, 45^o, 60^o, 90^o určete:

a)

b)

Upravte výraz:

2) Vzorce pro dvojnásobný argument

Příklady:

a) Určete , když víte, že

- úhel 120^o = 2.60^o – proto užijeme vzorec pro dvojnásobný argument

b) Upravte výraz:

- použijeme vzorec a zkrátíme

Úkol : Odvoďte vzorce pro sin3x a cos3x (použijte součtové vzorce a vzorce pro dvojnásobný argument).

3) Vzorce pro poloviční argument

Příklad:

Zjednodušte výraz:

- použijeme vzorce pro poloviční argument

4) Součty a rozdíly goniometrických funkcí

Příklad:

Určete , když víte, že je

Úkol : Upravte výraz:

6SINF MATEMATIKA 1 1231517232849641211001 SONLARI ICHIDA NECHTA TUB SON
A MATEMATIKA AZON TERÜLETE AMELY EGY VÉGES HALMAZ ELEMEINEK
A1 (2PONT)MIT ÉRTÜNK RENDEZETT MINTÁN A MATEMATIKAI STATISZTIKÁBAN? A2

Tags: alena tichá, matematika, tichá, matematických, obsah, alena, vlastnosti

---

• BRAY 1 INDOOR POSTAL LEAGUE ENTRIES RECURVE MAX 2
• DRUŽSTVO PRO SPRÁVU DOMU DR ŠMERALA 12 IČ 258
• U NIVERZITET U SARAJEVU FAKULTET SPORTA I TJELESNOG ODGOJA
• CONTRATO DE LOCALIZACION EN ………………) A 26 DE AGOSTO
• ESTADÍSTICA TEST DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS EJERCICIO 2 EN
• EXPEDIENTE PARA LA AGRUPACIÓN DE MUNICIPIOS PARA EL SOSTENIMIENTO
• C HECK AGAINST DELIVERY REPUBLIC OF POLAND MINISTRY OF
• EKO CENTAR SKOLA ZA OPSTANAK SE STVARNO POTRUDILA DA
• ANÁLISIS SERVICIOS DE TRANSPORTE ZONA RIBERA ALTA FEBRERO 2015
• DEDUCCIÓN POR FAMILIA NUMEROSA O POR PERSONAS CON DISCAPACIDAD
• IV TORNEO DE PELOTA A MANO GOBIERNO DE LA
• PROGRAMI ARHEOLOŠKE BAŠTINE – UPUTA ZA KORISNIKE PROGRAMA NOSITELJ
• NAME BLOCK DATE COLLISION THEORY WORKSHEET
• SOL·LICITUD DE BENEFICIS FISCALS A LA TAXA D’ESCOMBRARIES
• OKRESNÍ FOTBALOVÝ SVAZ BENEŠOV –VNOUČKOVA 1699 256
• MATERIA TIPO CRÉDITOS DE LA INVESTIGACIÓN A LA PUESTA
• UNISDR ONLINE DIALOGUE PRIORITY AREAS TO IMPLEMENT DISASTER RISK
• MANIFESTACIÓ D’INCORPORACIÓ A L’EXPEDIENT ACADÈMIC DELS ENSENYAMENTS RECONEGUTS DADES
• UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU BROJ SARAJEVO
• HISTORIA DEL FUTBOL EL FÚTBOL FUE JUGADO POR PRIMERA
• TALLER RECONSTRUCCIÓN HISTÓRICA1 TRANSCRIPCIÓN SOCIALIZACIÓN LINEA DEL TIEMPO M1
• “EFECTIVIDAD COMPARADA EN CONDICIONES REALES DEL TRATAMIENTO FARMACOLÓGICO Y
• COMITÉ DE BIOÉTICA DE INVESTIGACION HUMANA (CIH) UNIVERSIDAD DE
• CHAPTER 1 1 EXPLAIN WHY THE LAW IS A
• ÅLR 20149101 MILJÖBERÄTTELSE ALLMÄNT VÄGPLAN FÖR SEPARAT GÅNG
• BRAZILIAN MEAT MONITOR – 16 MAY DUTCH TRADING
• PRILOGA II KEMIJSKE OBLIKE VITAMINSKIH IN MINERALNIH SNOVI KI
• PÍSEMNÉ HODNOCENÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE AUTORKA BP HANA ŠTROBLOVÁ NÁZEV
• ZAHTJEV ZA OVJERU POSLOVNE KNJIGE PODNOSILAC ZAHTJEVA IME I
• DECLARACIÓN DE ACEPTACIÓN DE DEFENSA TELEMÁTICA DE LOS MIEMBROS

• WHITE EAGLE WARRIORS SWIM TEAM INFORMATION PACKET SUMMER
• ASIGNATURA HISTORIA DEL MOVIMIENTO OBRERO DURANTE EL FRANQUISMO Y
• REPÚBLICA DE COLOMBIA TRIBUNAL SUPERIOR DE BOGOTÁ SALA CIVIL
• CFC303 SOLICITUD PARA RESTINGIR PHI (4112003) POR FAVOR ESCRIBA
• SZCZEGÓŁOWE SPECYFIKACJE TECHNICZNE WYKONANIA I ODBIORU ROBÓT BUDOWLANYCH NAZWA
• 1)COMENTE “EL SALDO QUE APARECE EN LA CARTOLA DEL
• POLETNE POČITNICE SO PRED VRATI SE SPRAŠUJETE KAKO BODO
• ESPECIFICACIONES TÉCNICAS LICITACION ABREVIADA 2009LA00002301 CONSTRUCCIÓN CALLE LA
• M APLE LEAF ACADEMY 200 731 6TH AVENUE
• UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA PROVINCIA DE BUENOS AIRES ESPECIALIZACIÓN “POLÍTICA
• HP SMART ARRAY PCI CARD SURVIVAL GUIDE REVISION 6
• REPUBLIKA HRVATSKA VMOOVL10 SISAČKO MOSLAVAČKA ŽUPANIJA OPĆINA VELIKA LUDINA
• NOTA DE PRENSA LEROY MERLIN PRESENTA LA SOLUCIÓN PERFECTA
• SERVICIO DE ORIENTACIÓN LABORAL VICERRECTORADO DE ESTUDIANTES APTITUDES VERBALES
• Short a 1 sam and Miles 336 2 George
• IŁAWA 12122017 R ZAPYTANIE OFERTOWE NA ZAPEWNIENIE USŁUGI NOCLEGOWEJ
• PATVIRTINTA ŽEMAITIJOS NACIONALINIO PARKO DIREKCIJOS 2012 M BIRŽELIO 26
• ANO GENITAL FINDINGS IN CHILDREN THURSDAY JUNE 11TH
• PEELINGI MEDYCZNE YELLOW PEEL (RÓWNIEŻ POWIEKA GÓRNA I
• K OMPLEX TEHETSÉGGONDOZÓ PROGRAM 2010 TISZAVASVÁRI ÁLTALÁNOS ISKOLA A