8A REGUŁA DE L’HOSPITALA ROZWAŻMY ILORAZ F(X)G(X) W SĄSIEDZTWIE

Wyrażenia nieoznaczone

8a. Reguła de l’Hospitala

Rozważmy iloraz f(x)/g(x) w sąsiedztwie punktu x=a . Mówimy, że iloraz ten jest dla x=a wyrażeniem nieoznaczonym postaci 0/0 , jeżeli

Jednak mimo tych warunków może istnieć granica ilorazu

Reguła de l’Hospitala:

Granica ilorazu dwóch funkcji dążących do zera przy x  a i mających pierwsze pochodne w pewnym sąsiedztwie punktu x = a jest równa granicy ilorazu pochodnych tych funkcji przy x  a, jeśli granica ta istnieje:

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, gdyż może istnieć granica ilorazu funkcji nawet wtedy, gdy granica ilorazu pochodnych nie istnieje. Z reguły de l’Hospitala wynika, że

Jeżeli f(a) = g(a) = 0, pochodne f’(x) i g’(x) istnieją w otoczeniu punktu x = a i są ciągłe w tym punkcie oraz g’(a)  0, to

Podobne reguły mają miejsce dla granic jednostronnych i gdy

x   (x  -).

Obliczyć , gdy

Rozważmy iloraz f(x)/g(x) w sąsiedztwie punktu x = a . Mówimy, że iloraz ten jest dla x=a wyrażeniem nieoznaczonym postaci / , jeżeli

bądź

Jeśli pochodne f’(x) i g’(x) istnieją w przedziale otwartym a < x < b oraz g’(x)  0 dla każdego x z przedziału, to dla granic jednostronnych w punktach x = a oraz x = b mają miejsce związki