35 LIMITI 1 LIMITE FINITO IN UN PUNTO 2

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MARIE CURIE SUPPORTING YOUNG PEOPLE WITH LIFELIMITING CONDITIONS FURTHER
NAME LIBERTY SCIENCE CENTER FIND THE LIMITING NUTRIENT

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NAME[KEY] DATE PERIOD WS LIMITING REACTANT & PERCENT YIELD
NOTES LIMITING REACTANTS & PERCENT YIELD PRACTICE WS 1
UNITÀ DI APPRENDIMENTO “REGOLE LEGGI LIMITI E CONFINI” (SECONDARIA

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LIMITI

LIMITI

1. Limite finito in un punto

2. Limite infinito in un punto

3. Limite finito all’infinito

4. Limite infinito all’infinito

5. Limiti da destra e da sinistra
   Nota bene 1°

6. Esempi di riepilogo
   Nota bene 2°

7. Limite per eccesso e per difetto

8. Limiti fondamentali

1 . Limite finito in un punto

Data la funzione f(x) : D_f → C_f , con D_f R e C_f R, considerato il punto x_{0 ,} con x₀ punto d’accumulazione di D_f , si definisce limite finito in x₀ il numero reale l che soddisfa alla seguente condizione:

l è limite della funzione f(x) per x che tende ad x₀, e si scrive , se , tale che , .

N.B.: in questa definizione è interessante considerare ε ‘piccolo a piacere’, cioè ε → 0.

Esempi

Verificare l’esistenza di un limite secondo la definizione, significa risolvere la disequazione indicata, in questo caso , e trovare come risultato un intorno di x₀ , privato al più di x₀.

1.a Data la funzione , verifica che .

D_f = R \ {1} ;

Verifica empirica:

Verifica secondo la definizione:

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di x₀ = 1, privato di x₀ = 1.

1.b Considera la funzione dell’esempio 1.a, e verifica che
l’affermazione è falsa.

Infatti, applicando la definizione, si ottiene come risultato un intorno
completo di 2, anziché un intorno di x₀ = 1, privato di x₀ = 1:

2 . Limite infinito in un punto

Data la funzione f(x) : D_f → C_f , con D_f R e C_f R, considerato il punto x_{0 ,} con x₀ punto d’accumulazione di D_f , si dice che il limite della funzione f(x), per x che tende ad x₀, è infinito, e si scrive ,

se , tale che .

N.B.: a) in questa definizione è interessante considerare M ‘grande a piacere’, cioè M → +  .

b) in particolare, se il limite è + -  ), basta che sia verificata la disequazione f(x) > M
( f(x) < - M ) .

c) la definizione vale per , tuttavia per semplicità conviene prendere .

Questo tipo di limite implica l’esistenza di asintoto verticale di equazione x = x₀.

Esempio

Verificare l’esistenza di un limite secondo la definizione, significa risolvere la disequazione indicata, in questo caso , e trovare come risultato un intorno di x₀ , privato al più di x₀.

2.a Data la funzione , verifica che .

D_f = R \ {0} .

Verifica empirica:

Verifica secondo la definizione:

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di x₀ = 0, privato di x₀ = 0.

La funzione ammette asintoto verticale di equazione x = 0.

2.b Data la funzione , verifica che .

quindi, la disequazione è verificata per

Osserva che per M ‘ molto grande ’, per esempio M = 1000, si ha:

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di x₀ = - 2, privato di x₀ = - 2.

Determino δ_M :

Si può concludere, in modo più raffinato, che , e che l’ intorno di x₀ = - 2, privato di x₀ = - 2 è .

3 . Limite finito all’infinito

Data la funzione f(x) : D_f → C_f , con D_f R , C_f R e D_f illimitato, si definisce limite finito per x che tende all’infinito, il numero reale l che soddisfa alla seguente condizione:

l è limite della funzione f(x) per x che tende a + - ), e si scrive

( ), se , tale che , ( ).

N.B.: in questa definizione è interessante considerare ε ‘piccolo a piacere’, cioè ε → 0.

Questo tipo di limite implica l’esistenza di asintoto orizzontale di equazione

Esempi

Verificare l’esistenza di un limite secondo la definizione, significa risolvere la disequazione indicata, in questo caso , e trovare come risultato un sottoinsieme illimitato di D_f.

3.a Data la funzione , verifica che .

D_f = R ;

Verifica empirica:

Verifica secondo la definizione:

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, la soluzione è un sottoinsieme illimitato di D_f : ]-  ; ln(ε) [.

La funzione ammette asintoto orizzontale di equazione y = 1.

3.b Data la funzione , verifica che .

Il limite indicato è stato verificato, perché, risolvendo la disequazione della definizione, la soluzione è un sottoinsieme illimitato di D_f :

.

La funzione ammette asintoto orizzontale di equazione y = 2.

4 . Limite infinito all’infinito

Data la funzione f(x) : D_f → C_f , con D_f R , C_f R e D_f illimitato, si dice che il limite della funzione f(x), per x che tende a più infinito (meno infinito), è infinito, e si scrive ( ),

se , tale che ( ).

N.B.: a) in questa definizione è interessante considerare M ‘grande a piacere’, cioè M → +  .

b) in particolare, se il limite è + -  ), basta che sia verificata la disequazione f(x) > M
( f(x) < - M ) .

Esempi

Verificare l’esistenza di un limite secondo la definizione, significa risolvere la disequazione indicata, in questo caso , e trovare come risultato un sottoinsieme illimitato di D_f.

4.a Data la funzione , verifica che .

D_f = R ;

Verifica secondo la definizione:

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un sottoinsieme illimitato di D_f :

.

4.b Data la funzione , verifica che .

Osservazione:

vista la natura del limite si può procedere in modo più sintetico:

5 . LIMITI DA SINISTRA E DA DESTRA

Per i limiti, finiti o infiniti, in un punto si definiscono i limiti da sinistra e da destra rispetto x₀ .

1. Limite finito in un punto da sinistra e da destra

Data la funzione f(x) : D_f → C_f , con D_f  R e C_f R, considerato il punto x_{0 ,} con x₀ punto d’accumulazione di D_f , si definisce limite finito in x₀ da sinistra (da destra) il numero reale l che soddisfa alla seguente condizione:

l è limite della funzione f(x) per x che tende ad x₀ da sinistra (da destra), e si scrive , se , tale che , .

Esempio

5.1 Data la funzione , verifica che .

2. Limite infinito in un punto da sinistra e da destra

Data la funzione f(x) : D_f → C_f , con D_f R e C_f R, considerato il punto x_{0 ,} con x₀ punto d’accumulazione di D_f , si dice che il limite della funzione f(x), per x che tende ad x₀ a sinistra (da destra), è infinito, e si scrive

,

se , tale che .

Esempio

5.2 Data la funzione ( vedi esempio 2.a), verifica che .

Nell’esempio 2.a abbiamo considerato il limite all’infinito in ‘valore assoluto’
(), in questo contesto lo consideriamo in senso relativo (  ).

D_f = R \ {0} .

N ota bene1°

Una funzione ammette limite in un punto soltanto quando in questo punto esiste il limite da destra e da sinistra della funzione e questi due limiti sono uguali (in ‘valore assoluto’ per il limite infinito); il valore comune dei due limiti è il valore del limite della funzione in quel punto:

In deroga a questa regola, si può affermare che una funzione ammette limite in senso assoluto in un punto x₀, anche quando questo limite coincide solamente o con limite sinistro o con il limite destro, se a destra o a sinistra di x₀ la f(x) non è definita.

Esempi:

- Dall’ esempio 5.1, osservo che, data la funzione , con
, in x₀ = 0 esistono i limiti da destra e da sinistra, ma essendo
diversi, non esiste il limite in senso assoluto.

- Dall’ esempio 5.2, osservo che, data la funzione , con ,
in x₀ = 0 esistono i limiti da destra e da sinistra, sono uguali (  in ‘valore assoluto’),
quindi esiste il limite in senso assoluto e vale  .

- Dall’ esempio 6.1, osservo che, data la funzione

in x₀ = 0 esistono i limiti da destra e da sinistra, ma essendo diversi, non esiste il
limite in senso assoluto.

- Dall’ esempio 6.2, osservo che, data la funzione

in x₀ = -1 esiste solamente il limite sinistro, mentre in x₀ = +1 esiste solamente il
limite destro, tuttavia, considerando il D_f , si può affermare che la funzione in
entrambi i punti ammette limite in senso assoluto.

6 . ESEMPI DI RIEPILOGO

6.1 Data la funzione f(x) = e^1/x , verifica i seguenti limiti:

Il limite indicato (limite finito in un punto da sinistra) è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di sinistra di x₀ = 0, privato di x₀ = 0: ; in questo caso .

Il limite indicato (limite infinito in un punto da destra) è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di destra di x₀ = 0, privato di x₀ = 0: ; in questo caso .

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, la soluzione è un sottoinsieme illimitato di D_f : .

La funzione ammette asintoto orizzontale di equazione y = 1.

6.2 Data la funzione f(x) = ln(x² -1), verifica i seguenti limiti:

Il limite indicato (limite infinito in un punto da sinistra) è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di sinistra di x₀ = -1, privato di x₀ = -1: ;

in questo caso .

La funzione ammette asintoto verticale di equazione x = - 1.

Il limite indicato (limite infinito in un punto da destra) è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di destra di x₀ = 1, privato di x₀ = 1: ;

anche in questo caso ( osserva che la funzione è pari ).

La funzione ammette asintoto verticale di equazione x = 1.

6.3 Data la funzione , con k  R (funzione costante), verifica che

.

La verifica è immediata:

In generale si può quindi dire che ‘ il limite di una costante è la costante stessa ’ .

Osservo che  x  D_f = R la funzione è definita, ammette limite e tale limite coincide con il valore della funzione: ( funzione continua in x₀ )

6.4 Verifica che : .

a) f(x) = sgn(x), D_f = R ;

Osservo che nel punto x₀ = 0 la funzione è definita, ma non ammette limite:

b) , D_f = R₀ ; i limiti si verificano come in a) ; il grafico è
identico al precedente, tranne per x = 0, dove la funzione non è definita.

Osservo che nel punto x₀ = 0 la funzione non è definita e non ammette limite:

6.5 Verifica che

Si può concludere, in modo più raffinato, che , e che l’intorno di x₀ = 4, privato di x₀ = 4, è .

Osservo che nel punto x₀ = 4 la funzione è definita, ammette limite e tale limite coincide con il valore della funzione: ( funzione continua in x₀ = 4 )

6.6 Data la funzione , verifica che .

D_f = R ; la verifica del limite è nell’esempio 1.a .

Osservo che nel punto x₀ = 1 la funzione è definita, ammette limite e tale limite non coincide con il valore della funzione: .

6.7 Data la funzione , verifica che .

Il limite indicato è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, la soluzione è un sottoinsieme illimitato di D_f :

.

La funzione ammette asintoto orizzontale di equazione y = 0.

6.8 Data la funzione ‘ parte intera ’ , verifica che .

Osservo che nel punto x₀ = 2 ( e così in tutti i punti x  Z ) la funzione è definita, ma non ammette limite:

6.9 Data la funzione , verifica che .

6.10 Data la funzione , verifica che .

Il limite indicato (limite infinito in un punto) è stato verificato perché, risolvendo la disequazione della definizione, ho trovato come soluzione un intorno di x₀ = π/2, privato di x₀ = π/2 : ; questo intorno è tanto più piccolo quanto più α tende a π/2, cioè quanto più M è grande.

La funzione ammette asintoto verticale di equazione x = π/2 .

6.11 Non esistono i seguenti limiti:

,

infatti, poiché sono funzioni periodiche, non si può determinare alcuno dei sottoinsiemi dei D_f che soddisfano alle disequazioni delle definizioni di limite ‘finito all’infinito’ e ‘infinito all’infinito’.

6.12 Data la funzione , con D_f = R₀ , considera i seguenti limiti:

a) Il limite non esiste, perché in un qualsiasi intorno del punto x₀ = 0 , la funzione
compie infinite oscillazioni, tutte di ampiezza uguale a 2, che vanno
restringendosi al tendere di x a zero: non è applicabile alcuna definizione di
‘limite in un punto’.

b) Basta osservare che se x  0, allora 1/x  , quindi posto α = 1/x, si ha:

La funzione ammette asintoto orizzontale di equazione y = 0 .

6.13 Data la funzione , verifica che

6.14 Data la funzione , verifica che ,  x₀  R .

------------------- N. B. ---------------------

S i possono verificare i limiti analoghi, anche per le altre funzioni goniometriche,  x₀  D_f , cioè in generale:

------------------------------------------

------------------- N. B. ---------------------

- -----------------------------------------

N ota bene 2°

Dagli esempi si osserva che, data una funzione f(x) avente dominio D_f e considerato un punto x₀, punto d’accumulazione di D_f, il comportamento della f(x) al tendere di x a x₀ può presentare i seguenti casi:

nel punto x₀

1. la f(x) è definita, esiste il limite e tale limite coincide con f(x₀) ( funzione continua in x₀ ) ; vedi es.: 6.3 – 6.5 – 6.14

2. la f(x) è definita, esiste il limite e tale limite non coincide con f(x₀); vedi es.: 6.6

3. la f(x) è definita e non esiste il limite; vedi es.: 6.4(a) – 6.8

4. la f(x) non è definita ed esiste il limite; vedi es.: 1.a – 2.a – 6.2(a,b) – 6.9 – 6.10 – 6.13

5. la f(x) non è definita e non esiste limite; vedi es.: 6.1(a,b) – 5.1. – 6.4(b) – 6.12(a)

7 . Limite per eccesso e per difetto

Definizione di limite per eccesso (difetto): diciamo che f(x) tende a l per eccesso (difetto), e si scrive

Esempi:

Vedi esempio 3.b :

Vedi esempio 3.a :

Vedi esempio 6.1 :

8 . Limiti fondamentali

Tags: finito in, (limite finito, punto, finito, limite, limiti

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