COMBINATORIA CONCEPTOS DE COMBINATORIA EN TODO PROBLEMA COMBINATORIO (DE
11 EVALUACIÓN DE LA APTITUD COMBINATORIA GENERAL Y ESPECÍFICA2ª RELACIÓN DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE COMBINATORIA 1
COMBINATORIA LA PARTE DE LA MATEMÁTICA QUE ANALIZA
COMBINATORIA CONCEPTOS DE COMBINATORIA EN TODO PROBLEMA COMBINATORIO (DE
COMBINATORIA PERMUTACIONES PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN LAS PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
COMBINATORIAL GAMES TOPICS GAMES WITH SIMPLE RULES CHOMP NIM
Combinatoria
Conceptos de combinatoria
En todo problema combinatorio (de recuento) hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Población
Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
2. Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad de repetición o no de los elementos.
Factorial
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número n se denota por n!
Por definición:
Ejemplos
Calcular factorial de 5.
Calcular factorial de 10.
10!=10.9.8.7…3.2.1=3 628 800
Calcular factorial de (x-1).
(x-1)!=(x-1)(x-2)(x-3)…3.2.1
Calcular factorial de (x-1).
(x+1)!=(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)…3.2.1
Variaciones ordinarias
Las variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) son los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Variaciones con repetición
Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplo: ¿Cuántas quinielas diferentes se pueden rellenar?
m={1,x,2}=3 n=[1,1,1,1,x,1,2,x,1,1,1,2,x,1,x]=15
Permutaciones
Las permutaciones de m elementos (m=n) son las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Permutaciones circulares
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, ... (a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Combinaciones
Las combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) son todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Números combinatorios
Propiedades de los números combinatorios
1.
2.
3.
Ejercicios
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 6 n = 3
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m = 6 n = 2
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elijes 4.
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puedes elegir más de una botella del mismo tipo.
Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?
Sí entran todos los elementos: 3 < 5
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.
Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?
Ejercicios de combinatoria
1 ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
2 Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
3 ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
4¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
5 ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?
6 A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
7 Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?
8 ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
9 ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería?
10 Con el punto y raya del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?
11 Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
12 ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
13 Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
Combinatoria: más ejercicios
1 Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?
2 Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
3 Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
4 Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
5 Resolver las ecuaciones combinatorias:
1. 
2. 
3. 
4. 
6 Resolver las ecuaciones combinatorias:
1. 
2. 
3.
7 Resolver las ecuaciones combinatorias:
1.
2.
3.
8 Resolver las ecuaciones combinatorias:
1. 
2. 
3. 
4. 
Página
EJERCICIOS DE COMBINATORIA 1 EN UNA CAJA HAY CUATRO
EJERCICIOS DE REPASO DE COMBINATORIA 1 EN UNA FÁBRICA
GUÍA 12 – COMBINATORIA MISCELÁNEA NOMBRE CURSO
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