EJERCICO 18
De las 42 librerías que hay en una ciudad, sólo 8 están especializadas en una disciplina. Calcula la probabilidad de que en 6 librerías elegidas al azar,
Todas ellas estén especializadas.
Sólo la mitad estén especializadas
Haya alguna especializada
Este apartado se podría hacer por combinatoria o a través
de un diagrama de árbol. Esta segunda opción es mucho
más sencilla para este caso. Nos ayudaremos de la regla de la
multiplicación
y dentro de esta la regla de Laplace <<La probabilidad de un
suceso A es el cociente entre números de casos favorables al
suceso y el número de casos posibles>>.
Si indicamos la probabilidad de suceso A por p(A) esta definición se puede expresar así:
p(A) = |
Aplicando el diagrama de árbol se puede observar que para que todos sean especializados solo se puede seguir una rama ya que en las demás siempre habrá al menos 1 no especializado:
Llamaremos E a que estén especializados y a que no lo estén:
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3/37 |
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4/38 |
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5/39 |
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34/37 |
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6/40 |
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34/38 |
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7/41 |
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34/39 |
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8/42 |
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34/40 |
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Haciendo uso de la regla de la multiplicación:
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luego la probabilidad |
En Este caso hacerlo por las ramas de un diagrama de árbol sería muy costoso pues tendríamos que coger varios caminos distintos y sumar sus probabilidades, así que lo haremos por combinatoria.
Usaremos permutaciones con repetición par ver el número de casos posibles existentes con 3 librerías especializadas y tras esto lo multiplicaremos por la probabilidad de 1 caso.
= 20 casos posibles |
Ahora veamos la probabilidad de uno de esos casos ya que si nos fijamos en la regla de la multiplicación aplicada a este apartado:
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En este ejercicio el orden de los factores, no altera la probabilidad:
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al tener los mismos numeradores y denominadores da lo mismo elegir primero uno que otro.
Luego la probabilidad de un caso de mitad especializado y mitad no especializado es:
= |
Ahora hemos de multiplicar por el número de casos posibles y nos da el resultado final:
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es la probabilidad de que sean la mitad especializadas y la otra mitad no.
Es mucho más sencillo empezar a calcular el caso opuesto, que no haya ninguna librería especializada puesto que se convierte en estudiar la probabilidad de una sola rama luego calcularemos la probabilidad de que haya alguna especializada “P(C)” ayudándonos de la regla:
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Al igual que vimos en el apartado a solo hemos de coger una rama del árbol pero esta vez la que tiene todas las y aplicando la regla de la multiplicación nos queda:
p(C) = |
que es la probabilidad de que NO haya ninguna especializada, luego
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es la probabilidad de que haya alguna especializada
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