MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B 942010 ANÁLISIS OPCIÓN A 1

Academia de Ciencias Matemáticas Físicoquímicas y Naturales de Granada
Ceip “conde de Campillos” Cehegín Programación Docente de Matemáticas
Programación Didáctica – Matemáticas eso Cuarto Curso Aragón

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Unidad 15 Azar y Probabilidad Matemáticas ev Nombre y

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MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B

9-4-2010

Análisis

OPCIÓN A

1.- Se sabe que la función definida por

es continua en todo su dominio

1. Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0?

2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f

Solución:

1. El dominio de la función es , y el único punto posible de discontinuidad es en x = 0.

Luego para que sea continua a = 3

Vemos si es derivable en x = 0. Hacemos la derivada

Calculamos las derivadas laterales:

Y como no coinciden esta función no es derivable en x = 0.

2. En su monotonía tenemos que tener en cuenta el Dominio, , los puntos donde no es continua o derivable (en x=0) y sus puntos críticos.

Para esto igualamos la derivada a 0:

_{Luego el único punto crítico es el 1.}

_{Sus intervalos de monotonía serán por tanto:}

2.- a) Calcula los puntos de corte con los ejes, las asíntotas y los extremos de la función .

b) Representa el recinto delimitado por la gráfica de la función anterior y la recta y calcular razonadamente el área de dicho recinto

Solución:

1. 

Puntos de corte:

Con OY

Con OX

El origen de coordenadas es el único punto de corte con los ejes

Asíntotas:

Como el dominio de la función es , no tiene asíntotas verticales

Para las horizontales:

Luego tiene una asíntota horizontal por la derecha y por la izquierda que es la recta y=0

Vemos su posición:

Además como coincide con el eje Y, la corta en el punto P(0,0)

Extremos:

Hay dos puntos críticos. Vemos lo que son:

Como f alcanza un máximo en el punto (2,1)

Como f alcanza un mínimo en el punto (2,1)

2. Con los datos anteriores y la recta dibujamos el recinto correspondiente:

Es fácil ver que los puntos de corte entre ambas funciones son el -2, el 0 y el 2, y como podemos ver es simétrica, luego basta con calcular el área rayada de la derecha y multiplicarla por dos:

Luego el área total será:

3.- Dada la función

a) Calcular

b) Calcular

Solución:

1. 

2. Para calcular calculamos primero la integral indefinida (por partes):

Luego:

4.- Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función definida por y a su función derivada f’.

1. Indicar razonadamente cuál es la gráfica de f y cuál es la de f’.

2. Calcular el área de la región sombreada

Solución:

1. Vamos a hacer primero la derivada de f:

Hay varias formas de saber qué gráfica corresponde a cada función. La más fácil es darle a una de ellas un valor conocido de la gráfica, por ejemplo el 1:

Luego la gráfica a) corresponde a la de la función f y la b) a la de su derivada

2. El área del recinto sombreado será:

Calculamos cada integral indefinida por separado:

Luego:

OPCIÓN B

1.- a) Calcular:

b) Representar gráficamente el recinto delimitado por la gráfica de la función y las rectas x = 0 , x = 2 , y = 4.

Calcular el área de dicho recinto.

Solución:

1. Mediante el método de integración por partes, tenemos:

De donde:

Y por tanto:

2. La representación gráfica del recinto cuyo área hay que calcular sería:

Como se puede observar en el dibujo, se divide el recinto en dos áreas que se calcularían:

Y por tanto el área total será:

2.- De la función se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, que el punto (0,1) es un punto de inflexión y que .

Calcular razonadamente a, b, c y d.

Solución:

Como tiene un máximo en x = 1 :

Como pasa por el punto (0,1), significa que

Además es un punto de inflexión, luego f’’(0)=0:

Luego de momento:

Calculamos su integral:

Si juntamos esta ecuación con la primera tenemos un sistema:

Luego la función es

3.- a) De entre todos los triángulos cuya base y altura suman 20 cm., ¿cuál tiene área máxima? ¿cuál es dicha área?

2. Dada la función



¿Se le puede aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral?

Calcula razonadamente F(0), F(1) y F’(1).

Solución:

1. Lamamos b a la base y h a la altura de cualquier triángulo.

La función cuyo máximo tenemos que calcular es el área, es decir:

El dato que nos da el ejercicio es que

Luego sustituyendo el área será:

Calculamos su máximo:

Luego el área es máxima cuando h = 10, y por tanto b = 10, y el área máxima será

2. Para poder aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral es necesario que la función de dentro de la integral sea continua en el intervalo que es donde está definida la función F(x)

Como no están en ese intervalo, la función f(t) es continua en y por tanto podemos aplicar el Teorema a la función F(x).

Calculamos ahora:

Calculamos primero la integral indefinida (es una integral racional):

Y dándole dos valores a t (el -2 y el -3) se obtiene fácilmente A=-1 , B=2.

Y por tanto:

Y por tanto

Para calcular F’(1) usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral según el cual

(la derivada de es 0

Luego

4.- Dada la función

a) Esboza su gráfica

b) Comprueba que la recta de ecuación es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0

c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha recta tangente

Solución:

1. 

Su gráfica es:

2. Para calcular la recta tangente hace falta hacer su derivada.

Es fácil ver que es continua en todo su Dominio

Vemos si es derivable:

es derivable en todo su dominio menos en x = 1

Su derivada será:

La recta tangente en x = 0 tendrá de ecuación:

la recta tangente es efectivamente

3. El recinto cuya área queremos calcular es:

Que como podemos ver dividimos en dos trozos.(Calcular como ejercicio los puntos de corte entre las gráficas).

El primero:

El segundo:

Luego el área total será:

Tags: análisis, bachillerato, opción, matemáticas, 942010

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