15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

SESSIÓ 4 DIAGRAMES D’INTERACCIÓ

Formigó: Predimensionament de seccions

FORMIGÓ: Predimensionament de seccions

CONCEPTE D’EXCENTRICITAT EN L’APLICACIÓ DE LA CÀRREGA. EXCENTRICITAT MÍNIMA

Si e_x < e_mín  M_x= Ne_mín

COMPRESSIÓ COMPOSTA I FLEXIÓ COMPOSTA

- L’axial actua en un dels plans principals de la secció amb una certa excentricitat.

- 15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS Es coneix la direcció de la fibra neutra. perpendicular al plànol d’actuació del moment, però no la seva situació.

- Disposició idònia de les armadures a la cara traccionada i armadura simètrica a l’altra cara.

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Si tots els punts de la secció estan comprimits, la sol·licitació és de compressió composta, la qual es dona normalment en pilars de planta baixa, on l’axial de compressió predomina respecte el moment. (axial dintre del nucli centrale  h/6)

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Si a la secció hi ha punts comprimits i punts traccionats, la sol·licitació és de flexió composta, la qual es dona en pilars de planta alta, amb domini del moment respecte l’axial

C 15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS OMPRESSIÓ ESBIAIXADA I FLEXIÓ ESBIAIXADA

- L’axial actua amb dues excentricitats e_x i e_y.

- 15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS Es desconeix la direcció i la posició de la fibra neutra.

- Disposició idònia de les armadures en funció de la situació de les tensions de tracció.

Si tots els punts de la secció estan comprimits (axial actuant dintre del nucli central), la sol·licitació és de compressió esbiaixada, (pilars de planta baixa), si hi ha punts traccionats i punts comprimits, la sol·licitació és de flexió esbiaixada, (pilars de planta alta)

DEDUCCIÓ D’EXPRESSIONS PEL PREDIMENSIONAMENT DE PILARS D’EDIFICACIÓ

Els pilars d’edificació estan sol·licitats per un axial i un o dos moments actuant en un o ambdós plans principals de la secció. En aquest mètode de predimensionament, es fa la simplificació de considerar que l’axial és absorbit per una secció de formigó més una secció d’acer si cal, i el o els moments són absorbits per un àrea d’acer addicional.

Es fa treballar als materials a la màxima tensió de càlcul, considerant com a coeficients de minoració de resistències els corresponents a un control normal d’obra (tensió de càlcul de l’acer a compressió simple ≤ 400 N/mm²).

Es majoren les accions, que per simplificar s’agafa el mateix tant per càrregues permanents com per variables.

PREDIMENSIONAMENT A COMPRESSIÓ SIMPLE

Si el pilar està sotmès només a un axial aplicat al centre de gravetat, es pot considerar que l’axial es suportat per una secció de formigó més un àrea d’acer.

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

A’_stot = 2 A’_s·

(1)

D 15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS e la quantia d’armadura de la secció:

El màxim valor de la quantia total d’armadura dintre d’una secció és 1, el que vol dir que si només actua un axial, l’àrea equivalent com a màxim serà el doble de l’àrea de la secció de formigó.

Procés per el predimensionament a compressió simple

Imposant una quantia 0’1, i fent treballar els material a la màxima tensió, s’obté l’àrea de la secció de formigó:

; (l’àrea de la secció que es pren, normalment es una mica més gran)

Coneixent l’àrea definitiva de la secció de formigó, es determina la quantia d’acer que li correspon:

A partir d’aquesta quantia es pot determinar l’àrea d’acer:

PREDIMENSIONAMENT A COMPRESSIÓ O FLEXIÓ COMPOSTA O ESBIAIXADA

Si el pilar està sotmès a un axial aplicat al centre de gravetat, més un moment en un o als dos plans principals, podem fer la mateixa consideració anterior respecte l’axial, amb la qual cosa obtindrem l’àrea de formigó i de l’acer comprimit (si cal) per suportar-ho, i afegir més acer per suportar el o els moments.

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

N_s=A_s·_s

Predimensionament de l’àrea d’acer per suportar el moment (A_s):

Braç mecànic (fent la simplificació de d=0,9·h):

Així, doncs, l’àrea necessària A_s és:

Posat en forma de quantia:

Si la sol·licitació és de flexió esbiaixada, es fa el mateix a l’altre pla. L’àrea d’armadura A_s, o quantia , s’ha de afegir a l’àrea A’_s o quantia ’ , si fos necessària, obtinguda per a suportar l’axial amb les expressions per a compressió simple:



La suma de les dues ha d’acomplir les condicions:

Armadura mínima

Armadura màxima (A_stot+ A’_stot) f_yd  ·f_cd·A_c  ( + ’)  1

Procés per el predimensionament a flexió composta o esbiaixada

Primer predimensionem la secció per suportar l’axial sense armadura i calculem la quantia necessària per a suportar el moment.

En funció de la quantia necessària per suportar el moment, es modifica o no, la secció. Si la quantia és molt baixa, disminuïm la secció i col·loquem armadura a compressió per ajudar a suportar l’axial, si és molt alta, augmentem el cantell o la base per reduir . Si existeix moment a l’altre pla, s’obté l’armadura necessària de la mateixa forma, i es sumen les dues.

EXEMPLE

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Dades generals:

- Formigó HA-25 f_ck = 25 N/mm²

- Acer B 500 S f_yk= 500 N/mm²

- _f =1,6

- E_s =200.000 N/mm² E_c = 27.264 N/mm²

- Les càrregues són característiques.(60% permanent)

- Condició de partida base=25 cm en totes les seccions del pòrtic 2

Esquemes i estats de càrregues del pòrtic 2 (pòrtic principal) i del pòrtic B (pòrtic secundari)

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

PREDIMENSIONAMENT DEL PILAR P4

Esforços característics predimensionats Nk=772,73 kN

Moment pòrtic principal Mk=41,59 mkN

Moment pòrtic secundari Mk=3,89 mkN

Primer predimensionem, la secció per suportar l’axial sense armadura (b=25 cm)

Axial:

Amb aquesta aproximació de secció, podem comprovar les excentricitats mínimes i la quantia d’armadura necessària en cada plànol principal

Pòrtic 2 (secció de bxh=25x35)

Excentricitat inicial: 15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Quantia pel moment:

Pòrtic B

Excentricitat inicial: 15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Quantia pel moment total:

Quantia total _tot=0,38+0,2=0,58<1, però per sobre de la mitjana (0,5)

Es pot donar per bona aquesta secció, però agafarem una secció una mica més gran, de 25 x 40 per reduir la quantia, ja que amb quatre metres d’alçada i una secció tant petita segur que el pilar és esvelt i els moments augmentaran al considerar el guerxament.

Refent els càlculs s’obté la quantia necessària en cada plànol, l’àrea d’acer i el nº de rodons en diàmetre 16 mm per exemple:

Pòrtic 2

;

Pòrtic B

;

FLEXIÓ SIMPLE I FLETXES (JÀSSERES)

PREDIMENSIONAMENT EN FLEXIÓ SIMPLE (N=0; M0)

El predimensionament de peces sotmeses a una sol·licitació de flexió simple és adient per a jàsseres o bigues, biguetes, lloses massisses o alleugerades i elements horitzontals, que no poden invertir el sentit de la flexió en la peça (les zones de traccions hi són localitzades i no varien). Per tant, l’armadura en la secció no caldrà que sigui simètrica.

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Deducció d’expressions pel predimensionament de jàsseres d’edificació

El moment és un parell de forces iguals i de sentit contrari que comprimeix el cap del formigó i tracciona l’àrea d’acer. (M_d=M_k·_f; N_c=N_s; M_d=N_c·z=N_s·z)

La resultant de l’axial del formigó comprimit, està situat al centre de gravetat del diagrama de tensions, a una distància y/2 de l’extrem més comprimit i comprimeix un àrea A_o=b·y.



Amb l’expressió anterior, donat un àrea d’acer A_s treballant a la màxima tensió f_yd, es pot deduir el cantell útil de la secció i viceversa.



Per deduir l’expressió que ens permeti obtenir la base en funció del cantell útil, o viceversa, podem considerar que l’armament de la secció acompleixi una quantia mecànica mitjana

Quantia màxima aconsellable

Prenent com àrea A_c el valor de A_c=b·d i substituint A_s·f_yd en funció del moment M_d, tenim com a condició de quantia mitjana

Procés de predimensionament a flexió simple:

Donat un moment determinat, imposant un armat s’obté el cantell útil de la secció i a partir d’aquest, la base necessària per acomplir una quantia mitjana, o bé es parteix d’una de les dues dimensions coneguda per obtenir l’altre i, a partir d’aquestes, l’armament que acompleix així mateix una quantia mitjana.

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

El cantell total serà el cantell útil més un recobriment mecànic (c) que garanteixi un bon recobriment de les armadures (per exemple 5 cm que és el que considerarem en tots els exemples).Al igual que en els pilars, es podria fer la simplificació de d=0,9·h, però conduiria a recobriments molt petits en jàsseres planes o lloses, i massa grans en jàsseres de gran cantell.

APROXIMACIÓ AL CÀLCUL DE DEFORMACIONS.

En el càlcul d’una estructura s’haurà de comprovar si els moviments i/o deformacions, al llarg de la seva vida activa, arriben o arribaran a estar dintre d’uns valors prefixats. Aquests valors de deformacions hauran de ser estudiats per a les condicions de servei de l’estructura, d’acord amb els criteris de combinació d’accions.

La deformació total d’un element de formigó és suma de diferents deformacions parcials que es produeixen al llarga del temps; per diferents motius: càrregues introduïdes, fluència del formigó, geometria i vinculació amb altres elements, rigidesa i armament, etc.

Tot això fa que l’estimació de les deformacions sigui bastant complexa, i solament avaluable de forma aproximada.

Es distingeixen:

- la fletxa total a molt llarg termini (infinit), com a suma de la fletxa instantània produïda per totes les càrregues, més la fletxa diferida deguda a les càrregues permanents.

- la fletxa activa respecte a un element danyable (fletxa total menys la que ja s’ha produït fins l’instant en que es construeix l’element).

En general, en edificació la fletxa màxima deurà ser:

- fletxa total  L/250 (L = llum de l’element)

- fletxa activa  L/400 (aconsellable 10 mm)

Determinació de la fletxa instantània i moment de fissuració i la seva repercussió en el càlcul de deformacions en jàsseres i lloses

Es calcula les fletxes instantànies en elements fissurats de secció constant, i a manca de mètodes més rigorosos, es pot emprar el següent mètode simplificat:

Es considera com moment d’inèrcia equivalent d’una secció de formigó armat el valor I_e donat per:

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

M_a=moment flector màxim aplicat a la secció bruta fins l’instant en què s’avalua la fletxa.

M_f= moment flector nominal de fissuració de la secció, M_f=f_ct,f·W_b

f_ct,f = Resistència a flexo-tracció del formigó =

W_b= Mòdul resistent de la secció bruta respecte de la fibra extrema en tracció.

I_b= Moment d’inèrcia de la secció bruta.

I_f = Moment d’inèrcia de la secció fissurada en flexió simple, que s’obté menyspreant la zona de formigó en tracció, i homogeneïtzant les àrees de les armadures multiplicant-les pel coeficient d’equivalència n (relació entre els mòduls de deformació de l’acer i el del formigó).

Comportament diferit en el formigó: fluència

Càlcul de la fletxa diferida

Les fletxes addicionals diferides, produïdes per càrregues de llarga duració, resultants de les deformacions per fluència, es poden estimar multiplicant la fletxa instantània corresponent per el factor :

’ = quantia geomètrica de l’armadura de compressió (A’_s) referida a l’àrea de la secció útil b₀·d, en la secció de referència, o sigui:

 = coeficient que depèn de la duració de la càrrega i que pren els següents valors:

2 setmanes 0,5

1 mes 0,7

3 mesos 1,0

6 mesos 1,2

1 any 1,4

5 o més anys 2,0

Per a edat j de càrrega i t de càlcul de la fletxa, el valor de  per al càlcul de  és:

(t) - (j).

Per tant , la fletxa total, suma de la instantània i la diferida s’expressa:

Segons l’EHE no serà necessari la comprovació de fletxes quan la relació llum/cantell de l’element estudiat sigui igual o inferior als valors de la següent taula:

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Alhora de predimensionar una biga, podem aproximar que la fletxa total serà quatre vegades més gran que la fletxa instantània obtinguda mitjançant qualsevol mètode de càlcul considerant el moment de inèrcia de la secció bruta (2,5 vegades per la pèrdua d’inèrcia per la fissuració i 1,5 per la fluència) i comparar aquest valor amb la màxima admesa L/250

EXEMPLE

15 FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS FORMIGÓ PREDIMENSIONAMENT DE SECCIONS

Dades generals:

- Formigó HA-25 f_ck = 25 N/mm²

- Acer B 500 S f_yk= 500 N/mm²

- _f =1,6

- E_s =200.000 N/mm² E_c = 27.264 N/mm²

- Condició de partida base=25 cm en totes les seccions del pòrtic 2