CALCULADORA GRÁFICA (TI82 TI83 Y TI83 PLUS) LA CALCULADORA

10 A CALCULADORA COMO FERRAMENTA DE AMPLIAÇÃO DOS RECURSOS
CALCULADORA GRÁFICA (TI82 TI83 Y TI83 PLUS) COMENZAREMOS CON
CALCULADORA GRÁFICA (TI82 TI83 Y TI83 PLUS) LA CALCULADORA

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CALCULADORA GRÁFICA (TI82 TI83 Y TI83 PLUS) LA CALCULADORA
CALCULADORA GRÁFICA (TI82 TI83 Y TI83 PLUS) LOS NÚMEROS
CALCULADORA GRÁFICA (TI82TI83 Y TI83 PLUS) CON LA AYUDA

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CALCULADORA GRÁFICA (TI-82)

CALCULADORA GRÁFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)

La calculadora gráfica te ofrece una gran cantidad de posibilidades a la hora de trabajar con funciones.

• Puedes representar cualquier función: rectas, parábolas, funciones polinómicas de cualquier grado, funciones racionales, funciones radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas... e, incluso, funciones definidas “a trozos”.

• También puedes obtener coordenadas de puntos interesantes sobre la gráfica (máximos, mínimos, puntos de corte con los ejes, puntos de corte de dos o más funciones...) y tablas de valores.

• Puedes estudiar los cambios que se producen en la gráfica de una función cuando sumas una constante, o bien cuando calculas el valor absoluto o cualquier otra transformación.

Empecemos viendo cómo introducir funciones en la calculadora y algunos otros conceptos fundamentales.

1. TECLAS GRÁFICAS

Se encuentran en la zona más próxima a la pantalla:

TI-83 y Plus TI-82

Otras teclas importantes para trabajar con funciones:

TI-82:

LINK Y-VARS

X, T,  VARS .

TI-83 y TI-83 Plus:

LINK DISTR

X, T, ,n VARS .

2. INTRODUCIR UNA FUNCIÓN

Pulsa la tecla Y= . Aparecerá en la pantalla:

TI-82 TI-83 y TI-83 Plus

Puedes representar hasta 10 funciones simultáneamente.

Ya está lista para que introduzcas la primera función.

Por ejemplo, si quieres representar escribirás:

(  ) 3 X,T,... x² + 2 X,T,…  1 .

3. VENTANA DE VISUALIZACIÓN

Pulsa ZOOM 6 (has seleccionado Zstandar).

Aparecerá en la pantalla:

Pulsa la tecla WINDOW . Aparecerá en pantalla:

TI-82 TI-83 y TI-83 Plus

En el gráfico anterior los valores de x varían desde el valor de Xmin = 10, hasta el valor de Xmax = 10. La escala del eje X es el valor de Xscl = 1.

Los valores de y varían desde Ymin = 10 hasta Ymax = 10. La escala del eje Y es el valor de Yscl= 1.

Siempre que selecciones ZStandar tendrás esta ventana de visualización de las gráficas.

Vamos a modificar los valores anteriores:

• Con TI-82: pulsa  y teclea () 5 ENTER 5 ENTER  () 5 ENTER 5.

• Con TI-83 y 83 Plus no hay que pulsar  al principio.

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Pulsa la tecla GRAPH y aparecerá la gráfica de la función en la pantalla:

Ahora hemos conseguido la gráfica de la misma función en una ventana más pequeña. Se observa mejor el vértice de la parábola.

5. COORDENADAS DE PUNTOS DE LA GRÁFICA

Pulsa la tecla TRACE . Aparecerá un cursor sobre la curva y podrás visualizar las coordenadas del punto sobre el que está situado.

TI-82 TI-83 y TI-83 Plus

Puedes moverte por la gráfica con las teclas  y  .

6. TABLA DE VALORES

Puedes obtener una tabla de valores de la función (o de las funciones) que estás representando mediante las teclas 2nd [TblSet] (en TI-82) o 2nd [TBLSET] (en TI-83 y TI-83 Plus) y 2nd [TABLE]. Veamos cómo:

Al pulsar la primera de ellas, obtendrás en la pantalla:

TI-82 TI-83 y TI-83 Plus

En TblMin o TblStart introducimos el valor en el que queremos que empiece la tabla de valores; y en Tbl la diferencia que queremos entre cada valor de x y el siguiente (el incremento de x en la tabla). Por ejemplo, si TblMin = -9 y Tbl = 1, la tabla empezará en
x = 9 y seguirá en x = 8, x = 7 ...

Para Indpnt (variable independiente, x) y para Depend (variable dependiente, y), tienes dos opciones:

Auto Visualización automática de la tabla.

ASK Visualiza una tabla vacía, donde podemos introducir los valores que queramos.

(Normalmente, elegirás Auto en las dos).

Al pulsar 2nd [TABLE] obtienes la tabla de valores de la función (o de las funciones) que tengas.

(Recuerda que puedes moverte por la pantalla con las teclas  ,  ,  y  ).

Puedes obtener más valores de los que en principio aparecen en pantalla moviéndote con  y  con el cursor situado en la columna de X.

Cuando tengas una tabla para más de dos funciones, podrás ver los valores de Y₃, Y₄, ... moviéndote por la pantalla con  ).

7. OTRAS TECLAS DE INTERÉS

ZOOM 5 (ZSquare)

Fija las variables WINDOW del siguiente modo:

En el gráfico, la longitud de las escalas en los ejes X e Y son iguales. Solo en esta opción los círculos se ven como círculos.

ZOOM 7 (Ztrig)

Fija las variables WINDOW para representar funciones trigonométricas.

CLEAR .

• Si estás en la pantalla gráfica, borra el gráfico y sales a la pantalla principal.

• Si estás en el editor de funciones (has pulsado Y= ), borra la línea-función en la que está el cursor.

MODE .

Radian/Degree Radianes/Grados para funciones trigonométricas.

Full Screen/Split La opción Full Screen (pantalla entera) utiliza toda la
(con TI-82) pantalla para visualizar un gráfico o una pantalla de

edición.

La opción Split (pantalla partida) visualiza la gráfica actual en la parte superior de la pantalla, y la pantalla principal o la pantalla de edición, en la parte inferior.

Full/Horiz/G-T La opción Full (pantalla entera) utiliza toda la pantalla
(con TI-83 y 83 Plus) para la representación de un gráfico o para la pantalla de

edición.

Con la opción Horiz seleccionada vemos:

Con la opción G-T (gráfico-tabla) vemos en la pantalla:

Pulsando 2nd [TABLE] o TRACE pasaremos de la gráfica a la tabla, y viceversa, y con  ,  ,  y  , podremos desplazarnos por ellas.

Para cambiar opciones en MODE :

• Pulsa MODE .

• Utiliza  ,  ,  y  para desplazarte por la pantalla y sitúa el cursor sobre la opción deseada.

• Pulsa ENTER para seleccionar el modo.

(Tú mismo podrás ir descubriendo muchas más posibilidades).

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 1. Representación de funciones

Representa gráficamente las siguientes funciones:

Solución:

• En todos los casos se deben dar los siguientes pasos:

1.°) Pulsa Y= (si hay alguna función escrita, la podemos borrar con CLEAR ). El cursor parpadeará en Y₁=.

2.°) Introduce la función en cada caso (después veremos la forma).

3.°) Pulsa GRAPH y la gráfica aparecerá en la pantalla.

Recuerda que puedes cambiar el intervalo de valores que consideras para x y para y, así como la escala de ambos en WINDOW . En algunos caso será necesario cambiar los valores para apreciar bien la función.

• Veamos cómo introducir la función en cada caso:

a) () 2 X,T,… + 7 .

b) ( 4 X,T,… + 3 )  ( X,T,... + 1 ) .

c) 2nd [  ] ( 2  X,T,… ) .

d) ( (  ) X,T,… ) ^ ( 1  3 ) .

e) 2nd [e^x] X,T,... .

f) 2 ^ ( X,T,… + 1 ) .

g) LN X,T,… .

h) LOG X,T,… .

i) ( LOG X,T,… )  ( LOG 2 ) .

EJEMPLO 2. Gráficas con la escala adecuada

Representa gráficamente la función .

• Pulsamos Y= (si hay alguna función escrita, bórrala con CLEAR ). El cursor parpadeará en Y₁=.

• Introduce la función escribiendo:

X,T,... x²  3 X,T,… + 1 5 .

• Pulsa ZOOM 6 y verás que no aparece la gráfica en la pantalla. Tal vez sea porque los intervalos de valores de x e y no son los adecuados.

• Consulta la tabla de valores de la función pulsando 2nd [TABLE] (puedes moverte por la tabla para obtener más valores pulsando las teclas  y  ) y verás que:

X	Y1
2	25
1	19
0	15
...	...

Observa que todos los valores de Y₁ son mayores que 10. Por eso la gráfica no aparece en la pantalla.

• Introduce los valores adecuados para los extremos de la ventana gráfica, pulsando
  WINDOW . Por ejemplo:

Pulsa GRAPH y obtendrás la gráfica.

EJEMPLO 3. Transformaciones de funciones

a) Representa gráficamente la siguiente función:

, para ;

b) Representa en los mismos ejes. ¿Qué observas?

c) Representa en los mismos ejes que ¿Qué observas?

d) Representa ¿Qué observas?

a)  Pulsa Y= (si hay alguna función, la podemos borrar con CLEAR ). El cursor parpadeará en Y₁=.

• Introduce la función: X,T, x²  3 X,T, .

• Introduce el intervalo de valores en el que varían x e y pulsando WINDOW (nos movemos por la pantalla con las teclas  ,  ,  y  :

En Xmin= escribimos (  ) 5 .

En Xmax= escribimos 5.

En Xscl= escribimos 1.

En Ymin= escribimos (  ) 5 .

En Ymax= escribimos 5.

En Yscl= escribimos 1.

Después de cada valor pulsamos ENTER o  .

• Pulsa GRAPH . Aparecerá en la pantalla la gráfica buscada.

b)  Pulsa Y= . Con  sitúate en Y₂= y escribe: Y₁ + 2 .

Para escribir Y₁.

Con TI-82 pulsa: 2nd [Y-VARS] 1 .

Con TI-83 y TI-83 Plus pulsa: VARS  1 .

Aparecerá la pantalla:

Pulsa 1 para seleccionar la función Y₁.

• Pulsa GRAPH .

Observa que la segunda gráfica es idéntica a la primera, pero trasladada 2 unidades hacia arriba.

c)  Pulsa Y= . Con  sitúate en Y₂=. Con CLEAR borra la función anterior e introduce escribiendo:

( X,T,... + 3 ) x²  3 ( X,T,… + 3 ) .

• Pulsa GRAPH .

Observa que la segunda gráfica es idéntica a la primera, pero trasladada 3 unidades a la izquierda.

d)  Pulsa Y= . Borra las funciones que hay con CLEAR (para moverte por la pantalla, usa  ,  ,  y  .

Introduce la función escribiendo, con TI-82, 2nd [ABS] Y₁ y, con TI-83 y TI-83 Plus, MATH  1 Y₁.

(Para escribir Y₁ ver apartado b)

• Pulsa GRAPH :

Observa que la parte de que era positiva (estaba por encima del eje X) queda como estaba, y que la parte que era negativa es simétrica respecto al eje X de la función .

EJEMPLO 4. Funciones inversas

Representa en los mismos ejes las funciones

para comprobar que una función y su inversa son simétricas respecto de la recta

y  x.

• Pulsa Y= y borra las funciones que hay con CLEAR (nos movemos por la pantalla con las teclas  ,  ,  y  .

• Introduce las tres funciones:

En Y₁=, escribe: 2 ^ X,T,... .

En Y₂=, escribe: ( LOG X,T,... )  ( LOG 2 ) .

En Y₃=, escribe: X,T,... .

• Pulsamos GRAPH (o ZOOM 6 ).

La gráfica superior es f (x) = 2^x, la inferior es f ^1(x) = log ₂ ^x y la recta y = x es el eje de simetría de ellas.

EJEMPLO 5. Funciones definidas a trozos

Representa gráficamente

• Para poder representar funciones a trozos, debes “preparar” la calculadora previamente:

Pulsa MODE y selecciona Dot (sitúa el cursor en Dot, moviéndote por la pantalla con  ,  ,  y  , y pulsa ENTER ).

Pulsa Y= y borra las funciones que haya con CLEAR .

nota: Para escribir seguimos los siguientes pasos:

Pulsa 2nd [TEST]. Aparecerá en la pantalla:

Pulsando el número de la izquierda, seleccionamos el símbolo correspondiente. Si, por ejemplo, pulsas 5, aparecerá <).

• Introduce la función: pulsa Y= y CLEAR para borrar lo que hubiera en Y₁.

1.ª expresión:

() 2 ( X,T,… 2nd [TEST] 5 0 ) .

+ .

2.ª expresión:

( X,T,…  2 ) ( 0 2nd [TEST] 6 X,T,… ) ( X,T,… .

2nd [TEST] 5 4 ) .

+ .

3.ª expresión:

2 ( X,T,... 2nd [TEST] 4 4 ) .

• Observa atentamente cómo separamos cada expresión con el signo + y cómo especificamos los valores que toma x en cada “trozo”.

• Introduce el intervalo en el que quieres que tomen valores x e y pulsando WINDOW . Por ejemplo:

• Pulsa GRAPH .

Si pulsas ZOOM 6 , observarás que x e y toman valores entre 10 y 10.

NOTA: Cuando termines de dibujar funciones definidas a “trozos”, vuelve a poner la calculadora en MODE Connected.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. a) Representa la función

• Borra con CLEAR o DEL si hubiera alguna función definida anteriormente.

• Define la función con Y= . El numerador, x  5, debe ir entre paréntesis para dividirlo por 2. Para escribir la x, pulsa X,T,... .

• Con los cursores puedes desplazarte a derecha, izquierda, arriba y abajo.

• Para encuadrar los ejes pulsa ZOOM y después 6 (que corresponde al zoom estándar).

b) Varía la ventana de representación.

• Pulsa WINDOW .

• Observa que los valores de x e y en el zoom estándar varían entre 10 y 10, con escala 1.

• Varía los valores de x e y haciendo:

X mínimo: 1 Ymínimo: 5

X máximo: 7 Y máximo: 5

Escala de X:1 Escala de Y = 1

• Pulsa GRAPH para representar de nuevo.

c) Recorre la gráfica punto a punto.

• Pulsa TRACE .

• Observa que, en la pantalla, aparecen las coordenadas del punto donde está el cursor parpadeante (x = 0, y = 2.5)

• Con los cursores derecho e izquierdo, desplázate sobre la gráfica hasta y después hasta

Observa que cuando pulsas  para acercarte a x = 2, que está dentro de la pantalla, la gráfica se va desplazando hacia la derecha mientras sigamos pulsando la tecla de desplazamiento.

Además, no podemos situar el cursor sobre x = 2 exactamente. Esto se debe al tamaño del píxel (punto de la pantalla).

Al pulsar  para ir hacia x = 10, la gráfica se va desplazando hacia la izquierda.

• ¿Puedes calcular el valor de la función en x  5, utilizando esta tecla?

d) Tabla de valores.

• Calcula los valores de la función para valores de x próximos a 1.

• Pulsa 2nd [TblSet] o 2nd [TBLSET]. En el menú de TABLE SETUP haz el valor mínimo de la tabla igual a 0 (TblMin=0 o TblStart=0) y el incremento de los valores de x igual a 0.25 (ΔTbl=2.5). Tanto la variable independiente como la dependiente deben estar en AUTO si quieres que la tabla se genere automáticamente.

• Para ver la tabla en pantalla, pulsa 2nd [TABLE].

e) Valor de la función en un punto.

Si quieres hallar el valor de la función en un punto, por ejemplo en x  43, haz lo siguiente:

• Pulsa 2nd [TblSet] y en el menú TABLE SETUP pon la variable independiente en Ask (Indpnt:Ask). Pulsa ENTER para activar este modo. Pulsa 2nd [TABLE]. Aparecerá la tabla de valores vacía. Teclea
  43 ENTER y obtendrás el valor de y en la columna correspondiente.

2. Representa la función . Halla el vértice de la parábola y los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Busca los puntos de corte de esta parábola con la recta del ejercicio 1.

• Introduce la función en Y₂.

• Sube el cursor a Y₁, sitúalo sobre = y pulsa ENTER . Así se ha desactivado Y₁, sin borrarla.

• Representa con ZOOM 6 y pulsa TRACE .

Observa las coordenadas de los puntos de la gráfica en la última línea de la pantalla.

Así es posible averiguar, aproximadamente, donde están el vértice de la parábola y los 3 puntos de corte con los ejes.

• Puedes construir una tabla de valores muy cercanos a estos valores aproximados para intentar acercarte más a estos puntos.

Haz Tbl = 0.01.

• Pulsa Y= y activa Y₁ (la recta del ejercicio 1). Para ello sitúa el cursor sobre el signo = de Y₁ y pulsa ENTER .

• Representa con ZOOM 6 .

• Con TRACE y la tabla de valores podrás encontrar valores aproximados para los dos puntos de corte.

3. Representa la función .

Haz una tabla de valores dando a x valores muy próximos a 2. (TblMin=1.9 o
TblStar = 1 e Tbl=0.02). ¿Qué observas?

Pon la calculadora en MODE Connected y representa con ZOOM 6 .

Cambia ahora a MODE Dot y pulsa GRAPH . ¿Las dos gráficas son diferentes? ¿Qué está ocurriendo?

4. Representa las funciones y = arc sen x, y = arc cos x e y = arc tg x.

• Pulsa y= e introduce en Y₁, Y₂ e Y₃ las expresiones sin^1x, cos^1x y tan^1x. Borra el resto de las funciones, si las hubiera.

• Representa con ZOOM 6 (ZStandar) y después con ZOOM 7 (Ztrig). ¿Qué obtienes?

• Selecciona MODE Degree.

• Pulsa WINDOW e introduce los valores:

Xmin = 1.1 ; Xmax = 1.1 ; Xsel = 0.1

Ymin = 100 ; Ymax = 100 ; Ysel = 10

• Pulsa GRAPH . Verás aparecer las tres gráficas. Puedes pulsar TRACE y desplazarte por la primera. Pulsando  o  puedes pasar de una gráfica a otra.

• Puedes modificar la ventana gráfica para observar mejor alguna de ellas.

5. Puedes trabajar, con la ayuda de la calculadora gráfica, algunos de los “Ejercicios y Problemas Propuestos” de la unidad 10 de tu libro de texto. Por ejemplo, los que tienen esta numeración:

2  11  19  20  21  35  45  46  58

También puedes comprobar la solución de casi todos.

CALCULADORA GRÁFICA (TI82TI83 Y TI83 PLUS) EJEMPLO 1
CALCULADORA GRÁFICA (TI83 Y TI83 PLUS) EL CÁLCULO DE
CALCULADORA GRÁFICA (TI83 Y TI83 PLUS) LA CALCULADORA POSEE

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