PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA








Nazwa metody

Porównanie metod numerycznych na podstawie [5] czyli http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN02


Nazwa metody

Zbieżność metody

Zalety

Wady

połowienia przedziału - bisekcji

Metoda bisekcji jest zbieżna liniowo z ilorazem 1/2.

Zbieżność metody bisekcji jest globalna1.

Po wykonaniu k obrotów pętli while (czyli po obliczeniu k+2 wartości funkcji) otrzymujemy x, które odległe jest od pewnego rozwiązania x* o co najwyżej

PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA

Prostota metody i uniwersalność.

Do zbieżności metody wystarczy jedynie ciągłość funkcji.

Łatwo można kontrolować błąd bezwzględny aproksymacji miejsca zerowego.

Konsekwencją powyższego oszacowania błędu jest bowiem następujący wniosek.

Wniosek

Dla znalezienia zera x* z dokładnością PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA , wystarczy obliczyć w metodzie bisekcji

PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA

wartości funkcji.

W praktyce zbieżność liniowa z ilorazem 1/2, okazuje się zbieżnością dość powolną.

iteracji prostej Banacha

Metoda zbieżna globalnie.

Przy założeniach twierdzenia Banacha, metoda iteracji prostych jest zbieżna co najmniej liniowo z ilorazem L, tzn.

PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA

Zaletą iteracji prostych jest fakt, że zbieżność nie zależy od wymiaru n zadania, ale tylko od stałej Lipschitza PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA (jednak w praktyce czasem sama stała Lipschitza może zależeć od wymiaru zadania...).

Okazuje się, że metoda iteracji prostej może być - w bardzo szczególnych przypadkach - zbieżna szybciej niż liniowo

W pewnych przypadkach zbieżność metody może być bardzo powolna



stycznych (Newtona)

PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA

Zbieżność metody Newtona dla zer wielokrotnych PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA jest liniowa z ilorazem 4/5 (końcowe załamanie wykresu spowodowane jest przypadkowym trafieniem w dokładne miejsce zerowe). Metoda bisekcji nie jest na to czuła i dalej zbiega z ilorazem 1/2.

Metoda Newtona jest pierwszą poznaną tutaj metodą iteracyjną, która jest (dla zer jednokrotnych) zbieżna szybciej niż liniowo. Dla takich metod wprowadza się pojęcie wykładnika zbieżności.

Nie jest zbieżna globalnie.

Jest zbieżna lokalnie2.

Gdy PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA jest zbyt daleko od rozwiązania może zdarzyć się, że iteracja Newtona zacznie nas oddalać od miejsca zerowego.

Dokładne wyznaczenie pochodnej jest niemożliwe, gdy np. funkcja jest zadana zewnętrzną procedurą, do której kodu źródłowego nie mamy dostępu; zwykle też koszt obliczenia wartości pochodnej jest wyższy od kosztu obliczenia wartości funkcji.

siecznych

PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA

Porównanie zbieżności metody bisekcji, stycznych i siecznych dla równania PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA . Błąd kolejnych przybliżeń wyświetlany jest w skali logarytmicznej.

Znana i często używana metoda iteracyjna, oparta na podobnym pomyśle linearyzacyjnym co metoda Newtona - metoda siecznych, w której zamiast przybliżenia wykresu PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA przez styczną, stosuje się przybliżenie sieczną.

Niewątpliwą zaletą metody siecznych jest jednak to, że nie wymaga obliczania pochodnej funkcji.

metoda siecznych - choć wolniej zbieżna niż metoda stycznych - dzięki temu, że jej iteracja wymaga jedynie wyznaczenia jednej wartości f, jest bardziej efektywna od metody Newtona: koszt osiągnięcia zadanej dokładności jest w takim przypadku mniejszy od analogicznego kosztu dla metody Newtona.

Jako wariant metody Newtona, metoda siecznych jest również zbieżna lokalnie.


Uwaga!

Metoda Brenta połączenie globalnej zbieżności metody bisekcji z szybką zbieżnością metody siecznych tak, by uzyskać metodę zbieżną globalnie, a jednocześnie istotnie szybciej niż liniowo.

Zrobiono to, wprowadzając metodę opartą na trzech punktach lokalizujących miejsce zerowe: dwóch odcinających zero tak jak w metodzie bisekcji i trzecim, konstruowanym np. jak w metodzie stycznych. W kolejnej iteracji wymieniamy jeden z punktów albo wedle metody siecznych (i wtedy zapewne szybciej zbliżamy się do zera), albo wykonując bisekcję (aby zagwarantować sobie, że w wiadomym przedziale miejsce zerowe rzeczywiście się znajduje).

Ten prosty pomysł metody hybrydowej wymaga jednak subtelnego dopracowania. Zostało to zrobione w 1973 roku przez Richarda Brenta.

1 Metody zbieżne dla dowolnego przybliżenia początkowego nazywamy zbieżnymi globalnie – [5]

2 Znaczy to, że zbieżność ciągu PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA do zera danej funkcji PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA jest zapewniona jedynie wtedy, gdy przybliżenia początkowe zostały wybrane dostatecznie blisko PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH NA PODSTAWIE [5] CZYLI HTTPWAZNIAKMIMUWEDUPLINDEXPHP?TITLEMN02 NAZWA .

2






Tags: czyli http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=mn02, czyli, porównanie, nazwa, metod, httpwazniakmimuweduplindexphp?titlemn02, numerycznych, podstawie