MATEMATYKA FINANSOWA 07062004 R KOMISJA EGZAMINACYJNA DLA AKTUARIUSZY XXXII

INŻYNIERIA ROLNICZA MATEMATYKA B2 SEMESTR II 20172018 ĆWICZENIA 3
JADWIGA UZAR MATEMATYKA – KL 5C TEMAT POLA WIELOKĄTÓW(0106
KIERUNEK MATEMATYKA V ROK – SEMESTR ZIMOWY WYKŁAD

KIERUNEK STUDIÓW MECHATRONIKA PRZEDMIOT PODSTAWOWY NAZWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA W
KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (PODSTAWOWY) KLASA 1 WYMAGANIA PODSTAWOWE
LISTA PRZEDMIOTÓW MIKROEKONOMIA EKONOMIA PRAWO GOSPODARCZE INFORMATYKA MATEMATYKA LISTA

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy

Matematyka finansowa 07.06.2004 r.

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy

XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.

Część I

Matematyka finansowa

Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:

......................................................................

Czas egzaminu: 100 minut

1. Trzy osoby biorą z banku kredyty w wysokości 100 każdy, spłacane za pomocą rat płatnych na koniec każdego roku przez najbliższe 10 lat. Każda z osób ma inny plan spłaty kredytu. Osoba pierwsza spłaca kredyt za pomocą rat postaci: X, X+4, X+8,......, X+36. Osoba druga spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Y, 2*Y, 3*Y,....,10*Y. Osoba trzecia spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Z, 1,3*Z, 1.3²*Z, .....,1,3⁹*Z. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi i = 10%. Ile wynoszą sumaryczne odsetki zapłacone przez wszystkich trzech kredytobiorców w całym okresie spłacania kredytów (proszę podać najbliższą wartość) ?

Odpowiedź:

A. 241

B. 251

C. 261

D. 271

E. 281

2. Bieżąca sytuacja na rynku finansowym oraz przewidywania (prawdopodobieństwa) co do jej stanu za rok przedstawiają się następująco:

cena akcji spółki krajowej – cena w PLN	Cena bieżąca	Cena za rok	Prawdopodobieństwo
		66	50%
	60	50	50%

kurs PLN/USD	Kurs bieżący	Kurs za rok	Prawdopodobieństwo
		4,95	60%
	4,7	4,4	40%

krzywa zerokuponowa PLN	Bieżąca	Za rok	Prawdopodobieństwo
w %		x/4	50%
	x/3	x/2	50%

krzywa zerokuponowa USD	Bieżąca	Za rok	Prawdopodobieństwo
w %		x/3	70%
	x/4	x/5	30%

akcja spółki zagranicznej - cena w USD	Cena bieżąca	Cena za rok	Prawdopodobieństwo
		26	55%
	20	17	45%

Która z poniższych strategii daje najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu (w PLN) w ciągu najbliższego roku przy przyjęciu powyższych założeń:

zakup 5-letniej zerokuponowej obligacji denominowanej w USD,
zakup po nominale 100 PLN rocznej obligacji zamiennej na 1,6 akcji spółki krajowej z rocznym kuponem 4,5%. Wykonanie zamiany na akcje oznacza również rezygnację przez inwestora z odsetek od obligacji. Zamiana może mieć miejsce wyłącznie w dniu wykupu obligacji,
zakup rocznej europejskiej opcji typu put na kurs dolara amerykańskiego z ceną wykonania 4,6 PLN za 0,075 PLN,
zakup rocznej europejskiej opcji put na akcję zagraniczną z ceną wykonania 20USD za 1,3 USD,
zakup rocznej europejskiej opcji call na 5 letnią obligację zerokuponową denominowaną w PLN (o nominale 100PLN)z ceną wykonania 91,2 PLN za 1,3 PLN.

Uwaga : opcje i kontrakty futures rozliczane są gotówkowo bez dostarczania instrumentu bazowego po upływie roku. Zamiana obligacji na akcję odbywa się poprzez wypłatę inwestorowi kwoty 1,6 * cena_akcji w momencie zamiany. Krzywa zerokuponowa zdefiniowana jest jako funkcja okresu do wykupu (parametr x) liczonego w latach.

3. Wartość amerykańskiej opcji typu put na akcję firmy X z ceną wykonania 45 zostaje wyznaczona przy zastosowaniu trzyokresowego modelu dwumianowego. Wiadomo, że :

obecna cena akcji wynosi 45,
w każdym z trzech okresów cena akcji może zmienić się o 15% w odniesieniu do jej wartości z początku okresu, a prawdopodobieństwa zmian są jednakowe w każdym okresie,
wartość opcji call na akcję firmy X wygasającej na koniec pierwszego okresu i cenie wykonania 45 wyznaczona przy zastosowaniu tego samego modelu dwumianowego wynosi 4,79
efektywna stopa procentowa w okresie wynosi i = 8%.

Oblicz wartość amerykańskiej opcji put (podaj najbliższą wartość):

0,93

1,22

1,48

1,71

1,97

4. Bieżący stan rynku finansowego jest następujący:

1 USD = 4 PLN

roczna depozytowa stopa PLN = 7%

roczna depozytowa stopa USD = 3%

Ceny europejskich opcji walutowych na kurs USD z okresem wykonania 1 rok (1 opcja opiewa na 1 USD):

cena wykonania opcji (w PLN)	3,95	4,1	4,25	4,35	4,45
cena opcji put ( w PLN)	0,11	0,21	0,32	0,41	0,5

Bank oferuje swoim klientom roczną lokatę otwieraną w PLN, która po roku wypłaca jedną z dwóch (wybraną w dniu wypłaty przez Bank) kwot :

kwota w PLN : wartość depozytu w PLN powiększoną o 15% lub
kwota w USD : (wartość depozytu w PLN / 4 ) * (1+X)

Przy podanej wyżej bieżącej sytuacji na rynku finansowym, jakie najwyższe X może Bank zaoferować klientowi, który chce ulokować na powyższej lokacie 1 mln. PLN, aby mieć pewność osiągnięcia na niej zysku (podaj najbliższą wartość):

9,60%
10,10%
11,60%
12,10%
12,60%

Uwaga : Bank otrzymuje pieniądze od klienta i może dokonywać lokat PLN oraz USD (po uprzednim zakupie USD), nabywać opcje lub USD. Może również pozyskiwać dodatkowe środki z tytułu wystawiania opcji i przeznaczać je na te same cele. Na koniec roku poza realizacją zawartych transakcji(depozyty, opcje) może nabyć lub sprzedać USD po kursie, który ustali się w przyszłości (dzisiaj nieznanym). Opcje nie wymagają depozytów zabezpieczających a ich rozliczenie jest gwarantowane. Na rynku nie istnieją żadne inne instrumenty poza wymienionymi. Bank nie angażuje żadnych dodatkowych środków poza pozyskanymi od klienta tytułem lokaty lub uzyskanymi z wystawiania opcji.

5. Stan fragmentu rynku walutowego, przedstawia oferta dużego banku w dniu X:

PLN/USD USD/EURO

kupno 4,5 1,2

sprzedaż 4,6 1,22

Kwotowania podawane są od strony Banku, tak więc inwestor jest np. w stanie kupić USD za 4,6 PLN (kurs sprzedaży Banku) oraz sprzedać EURO za 1,2 USD (kurs kupna Banku).

Ponadto możliwe jest dokonywanie przez inwestora depozytów i zaciąganie pożyczek według poniższych stóp procentowych (stopy w skali roku, pożyczki spłacane jednorazowo na koniec okresu wraz z odsetkami):

PLN USD EURO

oprocentowanie depozytu 5% 2% 3,5%

koszt pożyczki 6,5% 4% 5%

Kurs terminowy USD/EURO z gwarantowanym rozliczeniem transakcji za rok wynosi (nie ma wymogu depozytów zabezpieczających) – kwotowania od strony Banku:

USD/EURO

kupno 1,16

sprzedaż 1,18

Dla którego z poniższych kwotowań terminowych PLN/USD (z gwarantowanym rozliczeniem za rok, brak wymogu depozytów zabezpieczających) jest możliwy arbitraż (kwotowania podawane od strony Banku, kurs kupna jest kursem dostępnym klientowi, gdy sprzedaje on USD) ?

A) PLN/USD kupno : 4,51 sprzedaż : 4,56

B) PLN/USD kupno : 4,56 sprzedaż : 4,61

C) PLN/USD kupno : 4,61 sprzedaż : 4,66

D) PLN/USD kupno : 4,66 sprzedaż : 4,71

E) żaden z powyższych

Uwaga : PLN/USD - jest kwotowaniem w PLN za jednostkę USD

USD/EURO - jest kwotowaniem w USD za jednostkę EURO

Inwestor nie dysponuje środkami własnymi i może operować jedynie na zdefiniowanych powyżej instrumentach. Inwestor nie może dokonywać krótkiej sprzedaży walut (sprzedaż waluty lub depozyt muszą być poprzedzone zakupem waluty).

6. Firma ubezpieczeniowa posiada zobowiązania wynikające z portfela rent pewnych. Renty te są płatne w wysokości PLN 1 m na koniec każdego roku przez najbliższe 20 lat oraz w wysokości PLN 0.5 m przez kolejne 20 lat. Firma ulokowała całość swoich rezerw w 15 letniej obligacji z 10% kuponem rocznym. Oblicz różnicę pomiędzy duration pasywów i aktywów, zakładając efektywną roczną stopę zwrotu i = 6% (podaj najbliższą wartość).

1,95
2,08
2,21
2,4
2,55

7. Rozważmy dwie 20-letnie renty pewne:

Pierwsza z nich jest rentą o rosnących w postępie arytmetycznym ratach, płatnych rocznie z góry. Pierwsza płatność z tytułu tej renty wynosi 100 zł, kolejne przyrosty wynoszą 50 zł.
Druga z nich jest rentą o ratach tworzących ciąg geometryczny o stopie wzrostu 5.5% i początkowej płatności równej 1000 zł oraz ratach płatnych rocznie z dołu.

Zakładamy, że stopa procentowa r jest w każdym roku zmienną losową o następującym rozkładzie dyskretnym (stopy w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi):

ri	P(r = ri)
3.0%	θ
4.5%	1 – θ

Wiadomo, że wartość obecna sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec drugiego roku (jest to jednocześnie początek trzeciego roku) obliczona przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r, stanowi 96.734% zdyskontowanych sum płatności tych rent z początku roku pierwszego i drugiego.

Rozważmy wartość sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec dziewiętnastego roku. Obliczyć różnicę pomiędzy wartością oczekiwaną wartości obecnej tej kwoty (przy założeniu, że w każdym roku stopa procentowa r ma powyższy rozkład) a wartością obecną tej kwoty obliczoną przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r.

Wskaż najbliższą wartość:

1.70 zł
2.70 zł
3.20 zł
3.70 zł
4.00 zł.

8. Rozważmy 5-letnią rentę ciągłą, płatną w taki sposób, że intensywność płatności w chwili t wynosi:

Intensywność oprocentowania jest zmienna w czasie i jest funkcją , o której wiemy, że szybkość jej zmiany powiększona o kwadrat samej funkcji stale wynoszą 0, zaś w chwili t = 0 intensywność oprocentowania wynosi 1. Przy jakiej wartości parametru α wartość obecna renty jest minimalna?

Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):

0.1235
0.1435
0.1635
0.1835
0.2035

9. Bank inwestuje środki finansowe w wysokości 1 000 000 zł na trzy sposoby:

udziela kredytu 10-letniego, ze stałym oprocentowaniem i = 10%, spłacanego w równych rocznych ratach (na koniec roku),
inwestuje w portfel akcji,
nabywa jednostki uczestnictwa w funduszu inwestycyjnym.

Wariancja stopy zwrotu z akcji wynosi 400%, wariancja stopy zwrotu z funduszu inwestycyjnego wynosi 225%, stopy zwrotu z akcji i funduszu inwestycyjnego są doskonale ujemnie skorelowane. Ile wynosi kwota odsetek uzyskanych przez bank w piątej racie kredytu, jeżeli wiadomo, że proporcje inwestowania w akcje i fundusz inwestycyjny są ustalone tak, aby zminimalizować ryzyko portfela, udzielony kredyt jest inwestycją bez ryzyka, natomiast bank inwestuje w akcje środki równe dokładnie połowie kwoty udzielonego kredytu?

28 803
29 811
30 854
31 809
32 713

10. Inwestor posiada kapitał w wysokości 10 000 zł. Aktualna rynkowa cena akcji spółki X wynosi 10 zł. Wiadomo, że:

odchylenie standardowe zmienności cen akcji wynosi σ = 0.3,
roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 10%.
akcja nie wypłaca dywidendy.

Inwestor zakupił 3 miesięczną europejską opcję sprzedaży (put option) na 10000 akcji spółki X po cenie wykonania 9 zł a resztę kapitału przeznaczył na 1-miesięczną lokatę, z której odsetki wyniosły 1% ? Do oszacowania wartości opcji należy użyć modelu Blacka-Scholesa. Przybliżone wartości dystrybuanty rozkładu normalnego podaje tabela. Dla wartości pośrednich należy użyć aproksymacji liniowej.

T	0	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35
N(t)	0.5000	0.5199	0.5398	0.5596	0.5793	0.5987	0.6179	0.6368
T	0.4	0.45	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7	0.75
N(t)	0.6554	0.6736	0.6915	0.7088	0.7257	0.7422	0.7580	0.7734
t	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1	1.15
N(t)	0.7881	0.8023	0.8159	0.8289	0.8413	0.8531	0.8643	0.8749
t	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	1.5	1.55
N(t)	0.8849	0.8944	0.9032	0.9115	0.9192	0.9265	0.9332	0.9394
t	1.6	1.6500	1.7	1.75	1.8	1.85	1.9	1.95
N(t)	0.9452	0.9505	0.9554	0.9599	0.9641	0.9678	0.9713	0.9744
t	2	2.05	2.1	2.15	2.2	2.25	2.3	2.35
N(t)	0.9772	0.9798	0.9821	0.9842	0.9861	0.9878	0.9893	0.9906
t	2.4	2.45	2.5	2.55	2.6	2.65	2.7	2.75
N(t)	0.9918	0.9929	0.9938	0.9946	0.9953	0.9960	0.9965	0.9970
t	2.8	2.85	2.9	2.95	3	3.05	3.1	3.15
N(t)	0.9974	0.9978	0.9981	0.9984	0.9987	0.9989	0.9990	0.9992

Ile wyniósł zysk inwestora z całego portfela po 1 miesiącu, jeżeli w tym czasie cena akcji spadła do 9,5 zł ? Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.

Matematyka finansowa

Arkusz odpowiedzi^{^*}

Imię i nazwisko: .................................................................

Pesel: ...........................................

OZNACZENIE WERSJI TESTU ............

Zadanie nr	Odpowiedź	Punktacja^{^}
1	E
2	E
3	D
4	A
5	A
6	A
7	A
8	B
9	E
10	D

* Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

 Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

MATEMATYKA 3 PROPOZYCJA PRZEDMIOTOWEGO SYSTEMU OCENIANIA ZP AGNIESZKA KAMIŃSKA
MATEMATYKA – PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA – KLASA 5 DZIAŁ
MATEMATYKA FINANSOWA 07062004 R KOMISJA EGZAMINACYJNA DLA AKTUARIUSZY XXXII

Tags: aktuariuszy, komisja, egzaminacyjna, xxxii, matematyka, finansowa, 07062004